Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite: {(n^(3/2) + 2) / (2 * n^(3/2))}

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa sequência: {(n^(3/2) + 2) / (2 * n^(3/2))}. A gente precisa descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, vamos achar o limite dela. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e simplificação de expressões matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão da sequência: . O objetivo aqui é simplificar essa fração para facilitar a análise do comportamento dela quando n cresce sem limite, ou seja, quando n tende ao infinito.

Passo 3

Vamos dividir o numerador em duas partes: e . Isso fica assim:

Passo 4

Simplificando cada termo:
  1. , porque se cancela.
Então, a sequência fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando n tende ao infinito:
  1. 1/2 é uma constante, então permanece 1/2.
  2. tende a 0 quando n cresce, porque estamos dividindo 1 por um número cada vez maior.
Então, temos:

Resposta

A sequência {(n^(3/2) + 2) / (2 * n^(3/2))} converge e o seu limite é 1/2.

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