Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa sequência:
. A gente precisa descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, vamos achar o limite dela. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e simplificação de expressões matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão da sequência:
. O objetivo aqui é simplificar essa fração para facilitar a análise do comportamento dela quando
cresce sem limite, ou seja, quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos dividir o numerador em duas partes:
e
. Isso fica assim:
Passo 4
Simplificando cada termo:
-
, porque se cancela. -
Então, a sequência fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite quando
tende ao infinito:
-
é uma constante, então permanece . -
tende a quando cresce, porque estamos dividindo 1 por um número cada vez maior.
Então, temos:
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.
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