Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite: {2^n}/(5^(n+2))

Passo 1

Então, a gente tem uma sequência definida por {2^n}/(5^(n+2)). Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, vamos também encontrar qual é o limite dela. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de sequências geométricas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar a análise. A sequência é . Podemos reescrever o denominador da seguinte maneira:
Então, a sequência fica:

Passo 3

Agora, observamos que é uma sequência geométrica onde a razão é 2/5. Sabemos que, para uma sequência geométrica da forma a^n, ela converge se a razão e diverge se .
No nosso caso, , que é menor que 1. Isso significa que tende a zero conforme n aumenta.

Passo 4

Multiplicando por , temos:
Como tende a zero quando n vai para o infinito, todo o produto também tende a zero.

Resposta

A sequência {2^n}/(5^(n+2)) converge e o limite é 0.

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