Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente precisa achar qual é o limite dela. Vamos usar conceitos de sequências e limites, e vamos precisar entender como a função arctangente se comporta quando seu argumento cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que acontece com a expressão dentro da arctangente conforme aumenta. Temos . Conforme cresce, praticamente se comporta como , então se aproxima de . Basicamente, à medida que fica bem grande, também fica muito grande.

Passo 3

Agora, vamos pensar na função arctangente, . Sabemos que conforme fica muito grande positivo, se aproxima de . Isso é uma propriedade básica das funções trigonométricas inversas:

Passo 4

Então, juntando as peças: conforme aumenta, tende para , e como a arctangente de tende para quando vai para , concluímos que:

Resposta

A sequência converge para .

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