Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite: arctg((n+2)/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente precisa achar qual é o limite dela. Vamos usar conceitos de sequências e limites, e vamos precisar entender como a função arctangente se comporta quando seu argumento cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que acontece com a expressão dentro da arctangente conforme n aumenta. Temos . Conforme n cresce, praticamente se comporta como n, então se aproxima de . Basicamente, à medida que n fica bem grande, também fica muito grande.

Passo 3

Agora, vamos pensar na função arctangente, . Sabemos que conforme fica muito grande positivo, se aproxima de x. Isso é uma propriedade básica das funções trigonométricas inversas:

Passo 4

Então, juntando as peças: conforme n aumenta, tende para +infinito, e como a arctangente de x tende para pi / 2 quando x vai para +infinito, concluímos que:

Resposta

A sequência converge para pi / 2.

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