Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente precisa achar qual é o limite dela. Vamos usar conceitos de sequências e limites, e vamos precisar entender como a função arctangente se comporta quando seu argumento cresce sem parar.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o que acontece com a expressão dentro da arctangente conforme
aumenta. Temos
. Conforme
cresce,
praticamente se comporta como
, então
se aproxima de
. Basicamente, à medida que
fica bem grande,
também fica muito grande.
Passo 3
Agora, vamos pensar na função arctangente, . Sabemos que conforme
fica muito grande positivo, se aproxima de
. Isso é uma propriedade básica das funções trigonométricas inversas:
Passo 4
Então, juntando as peças: conforme
aumenta,
tende para
, e como a arctangente de
tende para
quando
vai para
, concluímos que:
Resposta
A sequência converge para
.
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