Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:

Passo 1

Vamos analisar a sequência . O objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge (isto é, se ela se aproxima de um valor específico conforme aumenta) ou diverge (não se aproxima de nenhum valor). Para isso, vamos precisar entender como o seno se comporta quando seu argumento é pequeno e aplicar conceitos de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, observe que conforme cresce, o termo fica cada vez menor, aproximando-se de zero. Sabemos que para valores pequenos de , a função seno pode ser aproximada por . Isso é válido porque o desenvolvimento em série de Taylor para seno em torno de zero é , e os termos de ordem superior se tornam insignificantes quando é muito pequeno.

Passo 3

Aplicando essa aproximação na nossa sequência:
Isso sugere que, à medida que tende ao infinito, se aproxima de .

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

Exercícios relacionados

Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite: