Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, vamos descobrir qual é o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e como lidar com termos que crescem de forma diferente no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir ou divergir. Uma sequência converge se existe um número tal que, conforme fica cada vez maior, os termos ficam cada vez mais próximos de . Matematicamente, dizemos que . Se não existe esse , a sequência diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar os termos da nossa sequência:
Temos dois componentes principais no numerador: uma constante e um termo que alterna de sinal . No denominador, temos .

Passo 4

Vamos observar o comportamento do numerador e do denominador conforme cresce. O denominador cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito ( ) quando vai para infinito.

Passo 5

No numerador, temos . O termo alterna entre positivo e negativo devido ao , mas o módulo cresce sem limite. Portanto, o numerador pode se aproximar de ou , dependendo do sinal de .

Passo 6

Apesar da alternância do sinal no numerador, vamos comparar as taxas de crescimento do numerador e do denominador. O termo dominante no numerador é e no denominador é . Sabemos que cresce mais devagar que . Então, a expressão geral tende a zero quando vai para infinito.

Passo 7

Aplicando isso à nossa sequência:
Porque tende a zero e também tende a zero, já que cresce sem limite e o apenas alterna o sinal.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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