Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, vamos descobrir qual é o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e como lidar com termos que crescem de forma diferente no numerador e no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir ou divergir. Uma sequência
converge se existe um número
tal que, conforme
fica cada vez maior, os termos
ficam cada vez mais próximos de
. Matematicamente, dizemos que
. Se não existe esse
, a sequência diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar os termos da nossa sequência:
Temos dois componentes principais no numerador: uma constante
e um termo que alterna de sinal
. No denominador, temos
.
Passo 4
Vamos observar o comportamento do numerador e do denominador conforme
cresce. O denominador
cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito (
) quando
vai para infinito.
Passo 5
No numerador, temos
. O termo
alterna entre positivo e negativo devido ao
, mas o módulo
cresce sem limite. Portanto, o numerador pode se aproximar de
ou
, dependendo do sinal de
.
Passo 6
Apesar da alternância do sinal no numerador, vamos comparar as taxas de crescimento do numerador e do denominador. O termo dominante no numerador é
e no denominador é
. Sabemos que
cresce mais devagar que
. Então, a expressão geral
tende a zero quando
vai para infinito.
Passo 7
Aplicando isso à nossa sequência:
Porque
tende a zero e
também tende a zero, já que
cresce sem limite e o
apenas alterna o sinal.
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite: