Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, básicos de cálculo. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Basicamente, dizemos que uma sequência converge se ela se aproxima cada vez mais de um certo número à medida que aumenta. Se isso não acontece, a sequência diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar nossa sequência: . Ela é formada pelo produto de e .

Passo 4

Vamos separar as duas partes:
  1. : Este termo alterna entre e conforme aumenta. Ou seja, para par, dá ; para ímpar, dá .
  2. : O seno de , onde está em radianos. O seno de qualquer número real está sempre entre e , mas não se aproxima de nenhum valor específico quando cresce indefinidamente.

Passo 5

Para a sequência , a parte faz a sequência oscilar entre positivos e negativos, enquanto também oscila de forma irregular entre e sem se estabilizar.

Passo 6

Como não existe um único número que a sequência se aproxima conforme aumenta, ela não tem um limite definido.

Resposta

A sequência diverge.

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