Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, básicos de cálculo. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Basicamente, dizemos que uma sequência converge se ela se aproxima cada vez mais de um certo número à medida que
aumenta. Se isso não acontece, a sequência diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar nossa sequência:
. Ela é formada pelo produto de
e
.
Passo 4
Vamos separar as duas partes:
-
: Este termo alterna entre e conforme aumenta. Ou seja, para par, dá ; para ímpar, dá . -
: O seno de , onde está em radianos. O seno de qualquer número real está sempre entre e , mas não se aproxima de nenhum valor específico quando cresce indefinidamente.
Passo 5
Para a sequência
, a parte
faz a sequência oscilar entre positivos e negativos, enquanto
também oscila de forma irregular entre
e
sem se estabilizar.
Passo 6
Como não existe um único número que a sequência se aproxima conforme
aumenta, ela não tem um limite definido.
Resposta
A sequência
diverge.
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