Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma sequência
. O assunto que vamos usar pra resolver isso é o estudo de limites de sequências. Precisamos verificar se essa sequência converge pra algum valor ou se ela diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência
. Aqui, o numerador é
, que sempre está entre 0 e 1, já que o cosseno de qualquer número real está entre -1 e 1, e ao quadrado fica entre 0 e 1.
Passo 3
O denominador é
, que cresce sem limite conforme
aumenta. Então, estamos dividindo um número que fica entre 0 e 1 por um número que vai ficando cada vez maior.
Passo 4
Para encontrar o limite dessa sequência, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente. Como
está sempre limitado entre 0 e 1, e
tende ao infinito, o quociente
tende a zero.
Passo 5
Matematicamente, podemos dizer que:
E sabemos que
. Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema das Sandu��ches), se um termo está entre dois outros termos que tendem ao mesmo limite, então ele também tende a esse limite.
Resposta
A sequência
converge, e o seu limite é 0.
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