Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma sequência . O assunto que vamos usar pra resolver isso é o estudo de limites de sequências. Precisamos verificar se essa sequência converge pra algum valor ou se ela diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência . Aqui, o numerador é , que sempre está entre 0 e 1, já que o cosseno de qualquer número real está entre -1 e 1, e ao quadrado fica entre 0 e 1.

Passo 3

O denominador é , que cresce sem limite conforme aumenta. Então, estamos dividindo um número que fica entre 0 e 1 por um número que vai ficando cada vez maior.

Passo 4

Para encontrar o limite dessa sequência, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente. Como está sempre limitado entre 0 e 1, e tende ao infinito, o quociente tende a zero.

Passo 5

Matematicamente, podemos dizer que:
E sabemos que . Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema das Sandu��ches), se um termo está entre dois outros termos que tendem ao mesmo limite, então ele também tende a esse limite.

Resposta

A sequência converge, e o seu limite é 0.

Exercícios relacionados

Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite: