Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência, que é tipo uma lista de números que segue uma regra. A questão é dizer se essa sequência chega a um número específico quando vai pra infinito (que seria convergente) ou se ela não tem um limite definido (divergente). A sequência que a gente vai analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender un pouquinho sobre exponenciais e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos da sequência:
  • No numerador temos
  • No denominador temos
Quando cresce, cresce muito rápido, porque (que é aproximadamente 2,718) é elevado a potências cada vez maiores. Já significa , que fica muito pequeno, tendendo a zero.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dividindo todas as partes por , que é o termo dominante:
Aqui, simplificamos dividindo numerador e denominador por , o que deixa a expressão mais fácil de analisar.

Passo 4

Agora, observamos o comportamento de quando tende ao infinito:
  • e conforme aumenta, isso tende a zero.
Então, nossa expressão fica assim:

Passo 5

Portanto, quando vai pra infinito, a sequência se aproxima de 1.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 1.

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