Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência, que é tipo uma lista de números que segue uma regra. A questão é dizer se essa sequência chega a um número específico quando vai pra infinito (que seria convergente) ou se ela não tem um limite definido (divergente). A sequência que a gente vai analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender un pouquinho sobre exponenciais e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os termos da sequência:
- No numerador temos
- No denominador temos
Quando
cresce,
cresce muito rápido, porque
(que é aproximadamente 2,718) é elevado a potências cada vez maiores. Já
significa
, que fica muito pequeno, tendendo a zero.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dividindo todas as partes por
, que é o termo dominante:
Aqui, simplificamos dividindo numerador e denominador por
, o que deixa a expressão mais fácil de analisar.
Passo 4
Agora, observamos o comportamento de
quando
tende ao infinito:
-
e conforme aumenta, isso tende a zero.
Então, nossa expressão fica assim:
Passo 5
Portanto, quando
vai pra infinito, a sequência se aproxima de 1.
Resposta
A sequência converge e o seu limite é 1.
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