Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma sequência definida por
. O objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, queremos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções contínuas, como o cosseno.
Passo 2
Vamos começar analisando o comportamento do argumento do cosseno, ou seja,
, conforme
tende ao infinito. Isso nos ajudará a entender para que valor o cosseno está sendo avaliado.
Passo 3
Simplificando a expressão
, podemos dividir o numerador e o denominador por
:
À medida que
cresce, tanto
quanto
tendem a zero.
Passo 4
Portanto, temos:
Isso significa que o argumento do cosseno está se aproximando de zero conforme
aumenta.
Passo 5
Sabemos que a função cosseno é contínua em todo o seu domínio. Uma propriedade importante das funções contínuas é que:
Já determinamos que
.
Passo 6
Substituindo na expressão anterior:
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é 1.