Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite: cos((n-1)/n^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma sequência definida por . O objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, queremos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções contínuas, como o cosseno.

Passo 2

Vamos começar analisando o comportamento do argumento do cosseno, ou seja, , conforme tende ao infinito. Isso nos ajudará a entender para que valor o cosseno está sendo avaliado.

Passo 3

Simplificando a expressão , podemos dividir o numerador e o denominador por :
À medida que cresce, tanto quanto tendem a zero.

Passo 4

Portanto, temos:
Isso significa que o argumento do cosseno está se aproximando de zero conforme aumenta.

Passo 5

Sabemos que a função cosseno é contínua em todo o seu domínio. Uma propriedade importante das funções contínuas é que:
Já determinamos que .

Passo 6

Substituindo na expressão anterior:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 1.

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