Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação que envolve a derivada de
, a própria função
e uma integral de
de 0 até
. Além disso, temos uma condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar transformar a equação para o domínio da transformada de Laplace, resolver para
(que é a transformada de
), e depois aplicar a transformada inversa para achar
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Vamos quebrar isso em partes. Sabemos que:
- A transformada de
é . - A transformada de
é . - A transformada da integral
é . - A transformada de
é .
Aplicando essas transformadas, ficamos com:
Passo 3
Agora, substituímos
na equação:
Vamos juntar os termos com
:
Para simplificar, multiplicamos todos os termos por
para eliminar a fração:
Simplificando mais:
Então, isolamos
:
Passo 4
Vamos simplificar
:
Primeiro, somamos os termos do numerador:
Então,
Percebemos que o denominador
pode ser fatorado:
Então,
Podemos quebrar essa fração usando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo e igualando os coeficientes, encontramos
,
e
. Então:
Passo 5
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar
:
Sabemos que:
Então,
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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abaixo, determine
tal que
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