Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação que envolve a derivada de , a própria função e uma integral de de 0 até . Além disso, temos uma condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar transformar a equação para o domínio da transformada de Laplace, resolver para (que é a transformada de ), e depois aplicar a transformada inversa para achar .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Vamos quebrar isso em partes. Sabemos que:
  • A transformada de é .
  • A transformada de é .
  • A transformada da integral é .
  • A transformada de é .
Aplicando essas transformadas, ficamos com:

Passo 3

Agora, substituímos na equação:
Vamos juntar os termos com :
Para simplificar, multiplicamos todos os termos por para eliminar a fração:
Simplificando mais:
Então, isolamos :

Passo 4

Vamos simplificar :
Primeiro, somamos os termos do numerador:
Então,
Percebemos que o denominador pode ser fatorado:
Então,
Podemos quebrar essa fração usando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo e igualando os coeficientes, encontramos , e . Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar :
Sabemos que:
Então,

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVI
Para cada uma das funções abaixo, determine tal que
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVI
Nos seguintes problemas use a definição para calcular