Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVI
ry^prime+2 y+integral0^t y(tau) d tau=t y(0)=1,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação que envolve a derivada de , a própria função e uma integral de de 0 até . Além disso, temos uma condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar transformar a equação para o domínio da transformada de Laplace, resolver para (que é a transformada de ), e depois aplicar a transformada inversa para achar .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
L y'(t) + 2y(t) + integral0^t y(tau) dtau = L t
Vamos quebrar isso em partes. Sabemos que:
  • A transformada de sY(s) - y(0) + 2Y(s) + Y(s)s = 1s^2 é .
  • A transformada de é .
  • A transformada da integral é .
  • A transformada de é .
Aplicando essas transformadas, ficamos com:

Passo 3

Agora, substituímos sY(s) - 1 + 2Y(s) + Y(s)s = 1s^2 na equação:
( s + 2 + 1s ) Y(s) = 1s^2 + 1
Vamos juntar os termos com ( s^2 + 2s + 1 ) Y(s) = ss^2 + s :
( s^2 + 2s + 1 ) Y(s) = 1s + s
Para simplificar, multiplicamos todos os termos por Y(s) = 1s + ss^2 + 2s + 1 para eliminar a fração:
Simplificando mais:
Então, isolamos :

Passo 4

Vamos simplificar 1s + s = 1 + s^2s :
Primeiro, somamos os termos do numerador:
Y(s) = 1 + s^2s(s^2 + 2s + 1)
Então,
s^2 + 2s + 1 = (s + 1)^2
Percebemos que o denominador Y(s) = 1 + s^2s(s + 1)^2 pode ser fatorado:
1 + s^2s(s + 1)^2 = As + Bs + 1 + C(s + 1)^2
Então,
1 + s^2 = A(s + 1)^2 + Bs(s + 1) + Cs
Podemos quebrar essa fração usando frações parciais:
Y(s) = 1s - 1s + 1 + 1(s + 1)^2
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo e igualando os coeficientes, encontramos , e . Então:

Passo 5

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar y(t) = L^-1 1s - L^-1 1s + 1 + L^-1 1(s + 1)^2 :
y(t) = 1 - e^-t + te^-t
Sabemos que:
Então,

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 1 - e^-t + te^-t

Exercícios relacionados