Nas seguintes proposições abertas o domínio de discurso é o conjunto dos números reais. Para essas proposições esboce na reta real o seu conjunto verdade:
ou
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre proposições abertas com o domínio de discurso sendo os números reais. Isso significa que estamos lidando com desigualdades que envolvem qualquer número real. Precisamos esboçar na reta real o conjunto de números que tornam a proposição verdadeira. A proposição dada é:
ou
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de intervalos e operações lógicas como união (“ou”) e interseção (“e”).
Passo 2
Primeiro, vamos separar a proposição em duas partes:
-
-
e
A palavra “ou” entre elas indica que vamos combinar os conjuntos de soluções dessas duas partes usando uma união.
Passo 3
Vamos resolver cada parte separadamente.
Parte 1:
- Isso representa todos os números reais que são maiores que 2.
- Em termos de intervalos, isso é representado por
.
Parte 2:
e
- Aqui temos uma interseção porque usamos “e”.
-
significa números maiores que 3. -
significa números menores que 5. - Então, combinando as duas, os números devem ser maiores que 3 e menores que 5 ao mesmo tempo.
- Em intervalos, isso é
.
Passo 4
Agora, vamos combinar as duas partes usando a união.
- A primeira parte é
. - A segunda parte é
. - A união desses dois intervalos inclui todos os números que estão em
ou em .
Mas, observando bem,
já está incluso em
porque todo número maior que 3 é, por definição, também maior que 2. Portanto, a união dos dois intervalos não adiciona nada de novo além de
.
Passo 5
Vamos representar isso na reta real:
- Desenhamos uma linha reta.
- Marcamos o ponto 2 e desenhamos uma seta para a direita indicando todos os números maiores que 2.
- Como
está incluído em , não precisamos marcar algo especial para essa parte.
Resposta
O conjunto verdade da proposição
ou
e
é todo número real maior que 2. Na reta real, representamos isso com uma linha iniciando em 2 (não incluído) e se estendendo infinitamente para a direita: