Sejam
e
matrizes
. Se
ou
(ou ambas) não for invertível, então tampouco
será invertível.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas,
e
, de ordem
. A afirmação diz que se pelo menos uma dessas matrizes não for invertível, então o produto delas,
, também não será invertível. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma matriz invertível e entender como a invertibilidade se comporta quando multiplicamos matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz
é invertível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade. Se uma matriz não tem essa propriedade, ela é chamada de não invertível ou singular.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que acontece com o determinante das matrizes. Sabemos que:
Isso quer dizer que o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes. E, importante, uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero.
Passo 4
Vamos considerar os dois casos:
- Se
não for invertível: Isso significa que . - Se
não for invertível: Isso significa que .
Passo 5
Vamos analisar o determinante de
nos dois casos:
- Se
:
- Se
:
Passo 6
Em ambos os casos, o determinante de
é zero. E como vimos antes, se o determinante de uma matriz é zero, ela não é invertível. Então,
não é invertível.
Resposta
Portanto, se
ou
(ou ambas) não forem invertíveis, o produto
também não será invertível.
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