Sejam e matrizes . Se ou (ou ambas) não for invertível, então tampouco será invertível.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas, e , de ordem . A afirmação diz que se pelo menos uma dessas matrizes não for invertível, então o produto delas, , também não será invertível. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma matriz invertível e entender como a invertibilidade se comporta quando multiplicamos matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade. Se uma matriz não tem essa propriedade, ela é chamada de não invertível ou singular.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece com o determinante das matrizes. Sabemos que:
Isso quer dizer que o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes. E, importante, uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero.

Passo 4

Vamos considerar os dois casos:
  1. Se não for invertível: Isso significa que .
  2. Se não for invertível: Isso significa que .

Passo 5

Vamos analisar o determinante de nos dois casos:
  1. Se :
  1. Se :

Passo 6

Em ambos os casos, o determinante de é zero. E como vimos antes, se o determinante de uma matriz é zero, ela não é invertível. Então, não é invertível.

Resposta

Portanto, se ou (ou ambas) não forem invertíveis, o produto também não será invertível.

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