As seguintes séries são geométricas. Determine se são ou não são convergentes. Se for convergente, determine o seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a série e precisa descobrir se ela converge ou não. Se ela convergir, também temos que calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos lembrar que essa é uma série geométrica e vamos usar as propriedades das séries geométricas para determinar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a razão da série geométrica. Uma série geométrica geral tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, a série é . Podemos simplificar o termo geral:
Então, a razão da nossa série é .
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a série é convergente ou não. Para uma série geométrica, a condição de convergência é que o valor absoluto da razão seja menor que 1, ou seja, .
Vamos calcular :
Como , a condição não é satisfeita.
Passo 4
Como a condição de convergência não foi atendida (), isso significa que a série geométrica não converge. Em outras palavras, a soma dos termos dessa série tende ao infinito.