As seguintes séries são geométricas. Determine se são ou não são convergentes. Se for convergente, determine o seu valor. sumn=1^infty 5^n4^n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a série e precisa descobrir se ela converge ou não. Se ela convergir, também temos que calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos lembrar que essa é uma série geométrica e vamos usar as propriedades das séries geométricas para determinar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a razão da série geométrica. Uma série geométrica geral tem a forma 5^n4^n = (54)^n , onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, a série é . Podemos simplificar o termo geral:
Então, a razão da nossa série é .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a série é convergente ou não. Para uma série geométrica, a condição de convergência é que o valor absoluto da razão seja menor que 1, ou seja, |54| = 54 = 1,25 .
Vamos calcular :
Como , a condição não é satisfeita.

Passo 4

Como a condição de convergência não foi atendida ( ), isso significa que a série geométrica não converge. Em outras palavras, a soma dos termos dessa série tende ao infinito.

Resposta

A série não é convergente.

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