Seja
um número real positivo. Demonstre que:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um número real positivo
e precisa mostrar que
é maior que
para qualquer
. Isso envolve conceitos de álgebra e inequações exponenciais. Para resolver, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que é uma técnica poderosa para provar afirmações que valem para todos os números naturais a partir de um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Princípio da Indução Matemática. Ele tem dois passos principais:
- Base da Indução: Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro valor da sequência, geralmente
. - Passo Indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum
e, com base nisso, mostramos que ela também é verdadeira para .
Passo 3
Base da Indução: Vamos testar a afirmação para
.
Queremos mostrar que isso é maior que
:
Se subtrairmos
de ambos os lados:
Como
é um número real positivo,
também é positivo. Portanto, a base da indução é verdadeira.
Passo 4
Passo Indutivo: Vamos supor que a afirmação seja verdadeira para
, ou seja:
Agora, queremos mostrar que isso implica que:
Vamos multiplicar ambos os lados da hipótese indutiva por
:
Expandindo o lado direito:
Então temos:
Agora, como
é positivo,
também é positivo, então:
Portanto:
Isso completa o passo indutivo.
Resposta
Assim, por indução matemática, demonstramos que para todo número real positivo
e para todo
, vale que:
Exercícios relacionados
Converta os seguintes números binários para sua forma decimal:
9.2-3 Para os seguintes sinais, obtenha a TFTD diretamente, utilizando a definição da Eq. (9.30). Assuma
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Sejam
e
dois números reais. A sequência
é denominada progressão aritmética de razão r. Prove que a soma dos
primeiros termos dessa progressão aritmética é:
Determine todos os números reais
que satisfazem: