Seja um número real positivo. Demonstre que:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um número real positivo e precisa mostrar que é maior que para qualquer . Isso envolve conceitos de álgebra e inequações exponenciais. Para resolver, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que é uma técnica poderosa para provar afirmações que valem para todos os números naturais a partir de um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Princípio da Indução Matemática. Ele tem dois passos principais:
  1. Base da Indução: Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro valor da sequência, geralmente .
  2. Passo Indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum e, com base nisso, mostramos que ela também é verdadeira para .

Passo 3

Base da Indução: Vamos testar a afirmação para .
Queremos mostrar que isso é maior que :
Se subtrairmos de ambos os lados:
Como é um número real positivo, também é positivo. Portanto, a base da indução é verdadeira.

Passo 4

Passo Indutivo: Vamos supor que a afirmação seja verdadeira para , ou seja:
Agora, queremos mostrar que isso implica que:
Vamos multiplicar ambos os lados da hipótese indutiva por :
Expandindo o lado direito:
Então temos:
Agora, como é positivo, também é positivo, então:
Portanto:
Isso completa o passo indutivo.

Resposta

Assim, por indução matemática, demonstramos que para todo número real positivo e para todo , vale que:

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Converta os seguintes números binários para sua forma decimal:
9.2-3 Para os seguintes sinais, obtenha a TFTD diretamente, utilizando a definição da Eq. (9.30). Assuma .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Sejam e dois números reais. A sequência é denominada progressão aritmética de razão r. Prove que a soma dos primeiros termos dessa progressão aritmética é:
Determine todos os números reais que satisfazem: