Dos seguintes subconjuntos de R^2 diga quais são fechados, abertos, limitados; em seguida calcule suas fronteiras.
c) {(x, y) em R^2: x = 1, y < 2};

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto no plano R^2 definido por x = 1 e y < 2. Nosso objetivo é determinar se esse conjunto é fechado, aberto, limitado e, em seguida, calcular sua fronteira. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de conjuntos abertos e fechados, limites e fronteiras na topologia do espaço euclidiano.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto é aberto. Um conjunto é aberto se, para cada ponto dentro dele, conseguimos desenhar um círculo pequeno ao redor desse ponto que também está totalmente dentro do conjunto. No nosso caso, o conjunto é a linha vertical x = 1 com y menor que 2. Imagine que escolhemos um ponto nesse conjunto, por exemplo, 1,1. Se tentarmos desenhar um círculo pequeno ao redor desse ponto, parte desse círculo vai para valores de x diferentes de 1, que não pertencem ao conjunto. Portanto, não conseguimos manter todo o círculo dentro do conjunto. Assim, o conjunto não é aberto.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado. Um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de fronteira. Isso significa que se uma sequência de pontos dentro do conjunto converge para um ponto, esse ponto limite também deve estar no conjunto. No nosso caso, a condição y < 2 não inclui o valor y = 2. Se considerarmos uma sequência de pontos com y se aproximando de 2, o limite dessa sequência seria 1,2, que não está no conjunto. Portanto, o conjunto não é fechado.

Passo 4

Vamos verificar se o conjunto é limitado. Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito no plano. No nosso caso, a linha x = 1 se estende indefinidamente na direção negativa de y. Não há um limite para os valores de y (eles podem ir até menos infinito). Como não conseguimos cercar todo o conjunto dentro de um círculo de raio finito, o conjunto não é limitado.

Passo 5

Por último, vamos calcular a fronteira do conjunto. A fronteira de um conjunto é composta pelos pontos onde tanto o conjunto quanto seu complemento estão “próximos”. Para o nosso conjunto, a fronteira inclui todos os pontos onde x = 1 e , porque qualquer ponto com y = 2 está arbitrariamente próximo de pontos do conjunto (com y < 2). Portanto, a fronteira é o conjunto .

Resposta

O conjunto {(x, y) em R^2: x = 1, y < 2} não é nem aberto nem fechado, não é limitado e sua fronteira é .

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