Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
© Se é matriz , então possui infinitas soluções.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: "Se é uma matriz , então possui infinitas soluções."
Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com sistemas de equações lineares. Precisamos verificar se esse sistema homogêneo sempre tem infinitas soluções quando a matriz tem 4 linhas e 7 colunas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a matriz ser . Isso quer dizer que temos 4 equações e 7 incógnitas no sistema .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema da Dimensão, que nos diz que o número de soluções de um sistema linear depende da relação entre o número de equações e o número de incógnitas. Se tivermos mais incógnitas do que equações, o sistema tende a ter infinitas soluções.

Passo 4

No nosso caso, temos 7 incógnitas e apenas 4 equações. Isso significa que há “mais variáveis do que restrições”, ou seja, há espaço para múltiplas combinações de valores que satisfazem o sistema. Portanto, existem graus de liberdade que permitem infinitas soluções.

Passo 5

Para reforçar, podemos pensar no seguinte: em um sistema homogêneo ( ), sempre existe a solução trivial ( ). Mas, como temos mais incógnitas do que equações, além da solução trivial, existem outras soluções não triviais, formando uma infinidade de soluções.

Resposta

A afirmação é Verdadeira. Como a matriz é , o sistema possui infinitas soluções.

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