Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
© Se
é matriz
, então
possui infinitas soluções.
© Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: "Se
é uma matriz
, então
possui infinitas soluções."
Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com sistemas de equações lineares. Precisamos verificar se esse sistema homogêneo sempre tem infinitas soluções quando a matriz tem 4 linhas e 7 colunas.
Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com sistemas de equações lineares. Precisamos verificar se esse sistema homogêneo sempre tem infinitas soluções quando a matriz
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a matriz
ser
. Isso quer dizer que temos 4 equações e 7 incógnitas no sistema
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema da Dimensão, que nos diz que o número de soluções de um sistema linear depende da relação entre o número de equações e o número de incógnitas. Se tivermos mais incógnitas do que equações, o sistema tende a ter infinitas soluções.
Passo 4
No nosso caso, temos 7 incógnitas e apenas 4 equações. Isso significa que há “mais variáveis do que restrições”, ou seja, há espaço para múltiplas combinações de valores que satisfazem o sistema. Portanto, existem graus de liberdade que permitem infinitas soluções.
Passo 5
Para reforçar, podemos pensar no seguinte: em um sistema homogêneo (
), sempre existe a solução trivial (
). Mas, como temos mais incógnitas do que equações, além da solução trivial, existem outras soluções não triviais, formando uma infinidade de soluções.
Resposta
A afirmação é Verdadeira. Como a matriz
é
, o sistema
possui infinitas soluções.
Exercícios relacionados
Quais dos seguintes subconjuntos de
são subespaços de
?
O plano dos vetores com primeira componente
.
O plano dos vetores
Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear possui mais de uma solução então
possui pelo menos uma solução.
(a) Se o sistema linear
Quais dos seguintes subconjuntos de
são subespaços de
?
O conjunto dos vetores tais que
.
O conjunto dos vetores
Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(d) Se é simétrica então
para toda matriz
(d) Se