Quais dos seguintes subconjuntos de R^3 são subespaços de R^3 ?
O plano dos vetores (b1, b2, b3) com primeira componente b1=1.

Passo 1

Beleza! Vamos analisar o enunciado: temos um conjunto de vetores em R^3 onde a primeira componente é b1 = 1. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre subespaços vetoriais. Para saber se esse conjunto é um subespaço, precisamos verificar três coisas principais: se ele contém o vetor zero, se é fechado em relação à adição e se é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor zero em R^3. Esse vetor é (0, 0, 0). Um subespaço sempre precisa conter esse vetor. No nosso caso, como a primeira componente dos vetores do conjunto é sempre 1, o vetor zero não está nesse conjunto. Já é um sinal de que esse conjunto pode não ser um subespaço.

Passo 3

Mesmo não precisando continuar (já vimos que falta o vetor zero), vamos entender as outras condições. Para ser um subespaço, se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também precisa estar no conjunto. Mas se você somar (1, b2, b3) com (1, c2, c3), você obtém (2, b2 + c2, b3 + c3), onde a primeira componente é 2, não 1. Ou seja, a soma de dois vetores do conjunto n��o está mais no conjunto.

Passo 4

Também devemos verificar a multiplicação por um escalar. Se multiplicarmos um vetor (1, b2, b3) por um número qualquer, digamos k, temos (k, k cdot b2, k cdot b3). A primeira componente agora é k, que só é igual a 1 se k=1. Então, para qualquer outro número, o vetor resultante não está no conjunto.

Resposta

Não, o conjunto não é um subespaço de R^3 porque não contém o vetor zero e não é fechado em relação à adição nem à multiplicação por escalar.

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