Quais dos seguintes subconjuntos de
são subespaços de
?
O plano dos vetores
com primeira componente
.
O plano dos vetores
Passo 1
Beleza! Vamos analisar o enunciado: temos um conjunto de vetores em
onde a primeira componente é
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre subespaços vetoriais. Para saber se esse conjunto é um subespaço, precisamos verificar três coisas principais: se ele contém o vetor zero, se é fechado em relação à adição e se é fechado em relação à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor zero em
. Esse vetor é
. Um subespaço sempre precisa conter esse vetor. No nosso caso, como a primeira componente dos vetores do conjunto é sempre
, o vetor zero não está nesse conjunto. Já é um sinal de que esse conjunto pode não ser um subespaço.
Passo 3
Mesmo não precisando continuar (já vimos que falta o vetor zero), vamos entender as outras condições. Para ser um subespaço, se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também precisa estar no conjunto. Mas se você somar
com
, você obtém
, onde a primeira componente é
, não
. Ou seja, a soma de dois vetores do conjunto n��o está mais no conjunto.
Passo 4
Também devemos verificar a multiplicação por um escalar. Se multiplicarmos um vetor
por um número qualquer, digamos
, temos
. A primeira componente agora é
, que só é igual a
se
. Então, para qualquer outro número, o vetor resultante não está no conjunto.
Resposta
Não, o conjunto não é um subespaço de
porque não contém o vetor zero e não é fechado em relação à adição nem à multiplicação por escalar.
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Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear possui mais de uma solução então
possui pelo menos uma solução.
(a) Se o sistema linear
Quais dos seguintes subconjuntos de
são subespaços de
?
O plano dos vetores com primeira componente
.
O plano dos vetores
Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
© Se é matriz
, então
possui infinitas soluções.
© Se
Quais dos seguintes subconjuntos de
são subespaços de
?
O conjunto dos vetores tais que
.
O conjunto dos vetores