Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços de ?
O plano dos vetores com primeira componente .

Passo 1

Beleza! Vamos analisar o enunciado: temos um conjunto de vetores em onde a primeira componente é . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre subespaços vetoriais. Para saber se esse conjunto é um subespaço, precisamos verificar três coisas principais: se ele contém o vetor zero, se é fechado em relação à adição e se é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor zero em . Esse vetor é . Um subespaço sempre precisa conter esse vetor. No nosso caso, como a primeira componente dos vetores do conjunto é sempre , o vetor zero não está nesse conjunto. Já é um sinal de que esse conjunto pode não ser um subespaço.

Passo 3

Mesmo não precisando continuar (já vimos que falta o vetor zero), vamos entender as outras condições. Para ser um subespaço, se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também precisa estar no conjunto. Mas se você somar com , você obtém , onde a primeira componente é , não . Ou seja, a soma de dois vetores do conjunto n��o está mais no conjunto.

Passo 4

Também devemos verificar a multiplicação por um escalar. Se multiplicarmos um vetor por um número qualquer, digamos , temos . A primeira componente agora é , que só é igual a se . Então, para qualquer outro número, o vetor resultante não está no conjunto.

Resposta

Não, o conjunto não é um subespaço de porque não contém o vetor zero e não é fechado em relação à adição nem à multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados

Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear possui mais de uma solução então possui pelo menos uma solução.
Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços de ?
O plano dos vetores com primeira componente .
Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
© Se é matriz , então possui infinitas soluções.
Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços de ?
O conjunto dos vetores tais que .