Resolva através do método iterativo de Jacobi os sistemas abaixo com de.
a.
l 10 x1+x2+x3=12 2 x1+4 x2+x3=7 x1-x2+3 x3=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método iterativo de Jacobi. O problema nos dá três equações com três incógnitas ( x1, x2, x3) e uma tolerância de 0,01. Para resolver, vamos precisar reorganizar as equações de forma que cada variável seja isolada em uma das equações. Isso nos ajudará a iterar até chegarmos a uma solução que respeite a tolerância definida.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar uma das variáveis. Vamos escolher isolar x1, x2 e x3 nas três equações respectivamente.
A primeira equação:
10x1 + x2 + x3 = 12 Rightarrow x1 = 12 - x2 - x310
A segunda equação:
2x1 + 4x2 + x3 = 7 Rightarrow x2 = 7 - 2x1 - x34
A terceira equação:
x1 - x2 + 3x3 = 3 Rightarrow x3 = 3 - x1 + x23

Passo 3

Agora, vamos escolher uma estimativa inicial para as variáveis. Normalmente, começamos com x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, e x3^(0) = 0. Essas serão nossas primeiras suposições.

Passo 4

Vamos começar a iteração. Na primeira iteração, vamos usar as estimativas iniciais para calcular os novos valores das variáveis.
Calculando x1^(1):
x1^(1) = 12 - x2^(0) - x3^(0)10 = 12 - 0 - 010 = 1,2
Calculando x2^(1):
x2^(1) = 7 - 2x1^(0) - x3^(0)4 = 7 - 0 - 04 = 1,75
Calculando x3^(1):
x3^(1) = 3 - x1^(0) + x2^(0)3 = 3 - 0 + 03 = 1

Passo 5

Agora, vamos para a segunda iteração usando os valores recém-calculados.
Calculando x1^(2):
x1^(2) = 12 - x2^(1) - x3^(1)10 = 12 - 1,75 - 110 = 9,2510 = 0,925
Calculando x2^(2):
x2^(2) = 7 - 2x1^(1) - x3^(1)4 = 7 - 2(1,2) - 14 = 7 - 2,4 - 14 = 3,64 = 0,9
Calculando x3^(2):
x3^(2) = 3 - x1^(1) + x2^(1)3 = 3 - 1,2 + 1,753 = 3,553 approx 1,1833

Passo 6

Vamos verificar se a diferença entre os valores da segunda iteração e a anterior é menor que a tolerância de.
Diferenças:
|x1^(2) - x1^(1)| = |0,925 - 1,2| = 0,275 |x2^(2) - x2^(1)| = |0,9 - 1,75| = 0,85 |x3^(2) - x3^(1)| = |1,1833 - 1| approx 0,1833
Como todas as diferenças são maiores que 0,01, precisamos continuar iterando.

Passo 7

Continuando as iterações até que todas as diferenças sejam menores que a tolerância.
Terceira Iteração:
Calculando x1^(3):
x1^(3) = 12 - 0,9 - 1,183310 = 9,916710 = 0,9917
Calculando x2^(3):
x2^(3) = 7 - 2(0,925) - 1,18334 = 7 - 1,85 - 1,18334 = 3,96674 approx 0,9917
Calculando x3^(3):
x3^(3) = 3 - 0,925 + 0,93 = 3 - 0,925 + 0,93 = 2,9753 approx 0,9917

Passo 8

Verificando as diferenças:
|x1^(3) - x1^(2)| = |0,9917 - 0,925| approx 0,0667 |x2^(3) - x2^(2)| = |0,9917 - 0,9| approx 0,0917 |x3^(3) - x3^(2)| = |0,9917 - 1,1833| approx 0,1916
Ainda não atingimos a tolerância, então vamos para a próxima iteração.

Passo 9

Quarta Iteração:
Calculando x1^(4):
x1^(4) = 12 - 0,9917 - 0,991710 = 10,016610 = 1,0017
Calculando x2^(4):
x2^(4) = 7 - 2(0,9917) - 0,99174 = 7 - 1,9834 - 0,99174 = 4,02494 approx 1,0062
Calculando x3^(4):
x3^(4) = 3 - 0,9917 + 0,99173 = 33 = 1

Passo 10

Verificando as diferenças:
|x1^(4) - x1^(3)| = |1,0017 - 0,9917| = 0,01 |x2^(4) - x2^(3)| = |1,0062 - 0,9917| approx 0,0145 |x3^(4) - x3^(3)| = |1 - 0,9917| = 0,0083
As diferenças para x1 e x2 ainda não estão abaixo de 0,01, então precisamos de mais uma iteração.

Passo 11

Quinta Iteração:
Calculando x1^(5):
x1^(5) = 12 - 1,0062 - 110 = 9,993810 = 0,9994
Calculando x2^(5):
x2^(5) = 7 - 2(1,0017) - 14 = 7 - 2,0034 - 14 = 3,99664 approx 0,9992
Calculando x3^(5):
x3^(5) = 3 - 1,0017 + 1,00623 = 3 + 0,00453 = 3,00453 approx 1,0015

Passo 12

Verificando as diferenças:
|x1^(5) - x1^(4)| = |0,9994 - 1,0017| = 0,0023 |x2^(5) - x2^(4)| = |0,9992 - 1,0062| = 0,0070 |x3^(5) - x3^(4)| = |1,0015 - 1| = 0,0015
Agora, todas as diferenças são menores que 0,01. Portanto, paramos as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Jacobi, com de, é:
x1 approx 0,9994 x2 approx 0,9992 x3 approx 1,0015

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