Resolva através do método iterativo de Jacobi os sistemas abaixo com .
a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método iterativo de Jacobi. O problema nos dá três equações com três incógnitas ( , , ) e uma tolerância de . Para resolver, vamos precisar reorganizar as equações de forma que cada variável seja isolada em uma das equações. Isso nos ajudará a iterar até chegarmos a uma solução que respeite a tolerância definida.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar uma das variáveis. Vamos escolher isolar , e nas três equações respectivamente.
A primeira equação:
A segunda equação:
A terceira equação:

Passo 3

Agora, vamos escolher uma estimativa inicial para as variáveis. Normalmente, começamos com , , e . Essas serão nossas primeiras suposições.

Passo 4

Vamos começar a iteração. Na primeira iteração, vamos usar as estimativas iniciais para calcular os novos valores das variáveis.
Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 5

Agora, vamos para a segunda iteração usando os valores recém-calculados.
Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 6

Vamos verificar se a diferença entre os valores da segunda iteração e a anterior é menor que a tolerância .
Diferenças:
Como todas as diferenças são maiores que , precisamos continuar iterando.

Passo 7

Continuando as iterações até que todas as diferenças sejam menores que a tolerância.
Terceira Iteração:
Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 8

Verificando as diferenças:
Ainda não atingimos a tolerância, então vamos para a próxima iteração.

Passo 9

Quarta Iteração:
Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 10

Verificando as diferenças:
As diferenças para e ainda não estão abaixo de , então precisamos de mais uma iteração.

Passo 11

Quinta Iteração:
Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 12

Verificando as diferenças:
Agora, todas as diferenças são menores que . Portanto, paramos as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Jacobi, com , é:

Exercícios relacionados

Use o método de Jacobi para resolver o seguinte sistema até que o erro relativo porcentual caia abaixo de ,
Dos seguintes três conjuntos de equações lineares, identifique qual(is) conjunto(s) não pode(m) ser resolvido(s) usando um método ite-
rativo como o de Gauss-Seidel. Mostre, utilizando qualquer número de iterações, que necessariamente sua solução não converge. Enuncie claramente seu critério de convergência (como você sabe que a solução não está convergindo).
b.
Resolva através do método iterativo de Jacobi os sistemas abaixo com .
b.
Resolva através do método iterativo de Jacobi os sistemas abaixo com .
d.