Resolva através do método iterativo de Jacobi os sistemas abaixo com .
a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método iterativo de Jacobi. O problema nos dá três equações com três incógnitas (, , ) e uma tolerância de . Para resolver, vamos precisar reorganizar as equações de forma que cada variável seja isolada em uma das equações. Isso nos ajudará a iterar até chegarmos a uma solução que respeite a tolerância definida.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar uma das variáveis. Vamos escolher isolar , e nas três equações respectivamente.
A primeira equação:
A segunda equação:
A terceira equação:
Passo 3
Agora, vamos escolher uma estimativa inicial para as variáveis. Normalmente, começamos com , , e . Essas serão nossas primeiras suposições.
Passo 4
Vamos começar a iteração. Na primeira iteração, vamos usar as estimativas iniciais para calcular os novos valores das variáveis.
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Passo 5
Agora, vamos para a segunda iteração usando os valores recém-calculados.
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Passo 6
Vamos verificar se a diferença entre os valores da segunda iteração e a anterior é menor que a tolerância .
Diferenças:
Como todas as diferenças são maiores que , precisamos continuar iterando.
Passo 7
Continuando as iterações até que todas as diferenças sejam menores que a tolerância.
Terceira Iteração:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Passo 8
Verificando as diferenças:
Ainda não atingimos a tolerância, então vamos para a próxima iteração.
Passo 9
Quarta Iteração:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Passo 10
Verificando as diferenças:
As diferenças para e ainda não estão abaixo de , então precisamos de mais uma iteração.
Passo 11
Quinta Iteração:
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Passo 12
Verificando as diferenças:
Agora, todas as diferenças são menores que . Portanto, paramos as iterações.
Resposta
A solução aproximada do sistema pelo método de Jacobi, com , é: