A seguir temos uma a matriz A = (a_{mn}) 2x2, onde a_{m n} = 2^(n-m). Qual a soma de todos os elementos que compõem a matriz A^2 = A . A ?
a) 25/4
b) 9/2
c) 9
d) 1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de ordem , onde cada elemento é dado por . O que precisamos descobrir é a soma de todos os elementos da matriz , que resulta da multiplicação da matriz por ela mesma ( ). Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e depois somar os elementos resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz com base na fórmula . Como é uma matriz , temos:
Calculando cada elemento:
Então, a matriz fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular , que é a multiplicação de por . A multiplicação de matrizes segue a regra de que o elemento na posição da matriz resultante é a soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha da primeira matriz pela coluna da segunda matriz.
Então, temos:
Calculando cada elemento:

Passo 4

Agora que temos a matriz , queremos somar todos os seus elementos. Vamos fazer isso:

Resposta

A soma de todos os elementos que compõem a matriz é 9.

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