Qual é a solução do Sistema Linear de Equações Diferenciais para o problema de valor inicial abaixo?
a)
b)
c)
d) $X(t)=\frac{7}{2}\binom{1}{1} e^{t}-\frac{3}{2}\binom{1}{3} e^{-t}
b)
c)
d) $X(t)=\frac{7}{2}\binom{1}{1} e^{t}-\frac{3}{2}\binom{1}{3} e^{-t}
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais com condição inicial. A matéria envolvida é Sistemas Lineares de Equações Diferenciais, e vamos precisar usar autovalores e autovetores para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes:
Para isso, calculamos o determinante de
:
Simplificando:
Então, a equação característica é:
Passo 3
Agora, para cada autovalor, encontramos o autovetor correspondente.
Para
:
Isso nos dá a equação
, então podemos escolher
. Vamos tomar
.
Para
:
Isso dá
, ou seja,
. Vamos escolher
.
Passo 4
Com os autovalores e autovetores, escrevemos a solução geral do sistema:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Resposta
A solução do sistema é: