Qual é a solução do Sistema Linear de Equações Diferenciais para o problema de valor inicial abaixo?
a)
b)
c)
d) $X(t)=\frac{7}{2}\binom{1}{1} e^{t}-\frac{3}{2}\binom{1}{3} e^{-t}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais com condição inicial. A matéria envolvida é Sistemas Lineares de Equações Diferenciais, e vamos precisar usar autovalores e autovetores para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes:
Para isso, calculamos o determinante de :
Simplificando:
Então, a equação característica é:

Passo 3

Agora, para cada autovalor, encontramos o autovetor correspondente.
Para :
Isso nos dá a equação , então podemos escolher . Vamos tomar .
Para :
Isso dá , ou seja, . Vamos escolher .

Passo 4

Com os autovalores e autovetores, escrevemos a solução geral do sistema:

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial :
Isso nos dá o sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:

Exercícios relacionados

Sobre os operadores autoadjuntos podemos afirmar:
I. Todos os autovalores de um operador autoadjunto são reais;
II. Os autovetores de um operador autoadjunto associados a autovalores distintos são sempre ortogonais;
III. Os autovetores de um operador autoadjunto associados a autovalores distintos são sempre linearmente independentes;
IV. Um operador simétrico não é autoadjunto, mas é sempre diagonalizável por uma base ortogonal de autovetores.
Estão corretas apenas as afirmativas
a) I, II e IV.
b) I e III.
c) II, III e IV.
d) I, II e III.
Seja , munido com produto interno usual do , e seja o complemento ortogonal . A dimensão de é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
A seguir temos uma a matriz , onde . Qual a soma de todos os elementos que compõem a matriz ?
a)
b)
c) 9
d) 1
Ou Matemática é fácil, ou Ana não gosta de Matemática. Por outro lado, se Português não é difícil, então Matemática é difícil. Sabemos que Ana gosta de Matemática, logo
a) Matemática é difícil ou Português é fácil.
b) Matemática é fácil e Português é fácil.
c) Matemática é difícil e Português é difícil.
d) Matemática é fácil e Português é difícil.