Qual é a solução do Sistema Linear de Equações Diferenciais para o problema de valor inicial abaixo?
X^prime(t)=(ll 2 & -1 3 & -2 ) X(t) , X(0)=binom2-1
a) X(t)=12binom21 e^t-12binom13 e^-t
b) X(t)=12binom1-1 e^t-32binom13 e^-t
c) X(t)=12binom2-1 e^t-12binom-13 e^-t
d) $X(t)=\frac{7}{2}\binom{1}{1} e^{t}-\frac{3}{2}\binom{1}{3} e^{-t}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais com condição inicial. A matéria envolvida é Sistemas Lineares de Equações Diferenciais, e vamos precisar usar autovalores e autovetores para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes:
A = 2 & -1 3 & -2
Para isso, calculamos o determinante de det(A - lambda I) = det 2 - lambda & -1 3 & -2 - lambda = (2 - lambda)(-2 - lambda) - (-1)(3) :
(2 - lambda)(-2 - lambda) + 3 = ( -4 -2lambda + 2lambda + lambda^2 ) + 3 = lambda^2 -4 +3 = lambda^2 -1
Simplificando:
lambda^2 -1 = 0 Rightarrow lambda = pm1
Então, a equação característica é:

Passo 3

Agora, para cada autovalor, encontramos o autovetor correspondente.
Para (A - I)v = 1 & -1 3 & -3 v = 0 :
1 1
Isso nos dá a equação (A + I)v = 3 & -1 3 & -1 v = 0 , então podemos escolher 1 3. Vamos tomar .
Para :
Isso dá , ou seja, . Vamos escolher .

Passo 4

Com os autovalores e autovetores, escrevemos a solução geral do sistema:
X(t) = c1 v1 e^lambda1 t + c2 v2 e^lambda2 t = c1 1 1 e^t + c2 1 3 e^-t

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial 2 -1:
X(0) = c1 1 1 + c2 1 3 = 2 -1
Isso nos dá o sistema de equações:
c1 + c2 = 2 c1 + 3c2 = -1
Subtraindo a primeira equação da segunda:
2c2 = -3 Rightarrow c2 = -32
Substituindo na primeira equação:
c1 - 32 = 2 Rightarrow c1 = 72

Resposta

A solução do sistema é:
X(t) = 721 1 e^t - 321 3 e^-t

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