Seia A,+ um grupo abeliano. Prove que, Se f, g in End(A) então f cdot g in End(A) onde (f cdot g)(x)=f(g(x)) forall x in A.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo: temos um grupo abeliano (A, +) e duas funções f e g que são endomorfismos desse grupo. Um endomorfismo é basicamente uma função que respeita a estrutura do grupo. O objetivo aqui é mostrar que, ao compor essas duas funções (ou seja, aplicar uma depois da outra), o resultado f cdot g também é um endomorfismo de A. Para resolver isso, vamos precisar saber o que define um grupo abeliano e o que é um endomorfismo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo abeliano. Um grupo (A, +) é chamado abeliano se satisfaz as seguintes propriedades:
  1. Associatividade: Para todos a, b, c in A, temos (a + b) + c = a + (b + c).
  2. Elemento neutro: Existe um elemento 0 in A tal que, para todo a in A, a + 0 = a.
  3. Inverso: Para todo a in A, existe um elemento -a in A tal que a + (-a) = 0.
  4. Comutatividade: Para todos a, b in A, a + b = b + a.
Essas propriedades garantem que a estrutura do grupo é bem comportada e que as operações dentro dele seguem regras específicas.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre endomorfismos. Um endomorfismo de um grupo abeliano A é uma função f: A to A que preserva a operação do grupo. Isso significa que, para quaisquer elementos x, y in A, a seguinte condição é satisfeita:
f(x + y) = f(x) + f(y)
Ou seja, aplicar a função f na soma de dois elementos é o mesmo que somar as imagens desses elementos individualmente.

Passo 4

O exercício quer que mostremos que a composição de dois endomorfismos, f e g, também é um endomorfismo. A composição f cdot g é definida por:
(f cdot g)(x) = f(g(x))
para todo x in A. Nosso objetivo é provar que esta nova função f cdot g também respeita a estrutura do grupo, ou seja, que ela também satisfaz a propriedade de endomorfismo.

Passo 5

Para provar que f cdot g é um endomorfismo, precisamos mostrar que para todos x, y in A:
(f cdot g)(x + y) = (f cdot g)(x) + (f cdot g)(y)
Isso vai confirmar que a função composta respeita a operação do grupo.

Passo 6

Vamos calcular o lado esquerdo da igualdade:
(f cdot g)(x + y) = f(g(x + y))
Como g é um endomorfismo, sabemos que:
g(x + y) = g(x) + g(y)
Substituindo isso na expressão anterior:
f(g(x) + g(y))
Agora, como f também é um endomorfismo, temos:
f(g(x) + g(y)) = f(g(x)) + f(g(y)) = (f cdot g)(x) + (f cdot g)(y)
Isso mostra que:
(f cdot g)(x + y) = (f cdot g)(x) + (f cdot g)(y)

Resposta

Portanto, provamos que a composição f cdot g também é um endomorfismo de A.

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