Seia
um grupo abeliano. Prove que, Se
então
onde
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo: temos um grupo abeliano
e duas funções
e
que são endomorfismos desse grupo. Um endomorfismo é basicamente uma função que respeita a estrutura do grupo. O objetivo aqui é mostrar que, ao compor essas duas funções (ou seja, aplicar uma depois da outra), o resultado
também é um endomorfismo de
. Para resolver isso, vamos precisar saber o que define um grupo abeliano e o que é um endomorfismo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo abeliano. Um grupo
é chamado abeliano se satisfaz as seguintes propriedades:
- Associatividade: Para todos
, temos . - Elemento neutro: Existe um elemento
tal que, para todo , . - Inverso: Para todo
, existe um elemento tal que . - Comutatividade: Para todos
, .
Essas propriedades garantem que a estrutura do grupo é bem comportada e que as operações dentro dele seguem regras específicas.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre endomorfismos. Um endomorfismo de um grupo abeliano
é uma função
que preserva a operação do grupo. Isso significa que, para quaisquer elementos
, a seguinte condição é satisfeita:
Ou seja, aplicar a função
na soma de dois elementos é o mesmo que somar as imagens desses elementos individualmente.
Passo 4
O exercício quer que mostremos que a composição de dois endomorfismos,
e
, também é um endomorfismo. A composição
é definida por:
para todo
. Nosso objetivo é provar que esta nova função
também respeita a estrutura do grupo, ou seja, que ela também satisfaz a propriedade de endomorfismo.
Passo 5
Para provar que
é um endomorfismo, precisamos mostrar que para todos
:
Isso vai confirmar que a função composta respeita a operação do grupo.
Passo 6
Vamos calcular o lado esquerdo da igualdade:
Como
é um endomorfismo, sabemos que:
Substituindo isso na expressão anterior:
Agora, como
também é um endomorfismo, temos:
Isso mostra que:
Resposta
Portanto, provamos que a composição
também é um endomorfismo de
.