Seja
definida por
Prove que
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função
definida no intervalo
. Essa função é especial: ela vale 1 quando
é igual a
(onde
é um número natural, tipo 1, 2, 3, e assim por diante) e vale 0 em todos os outros casos. Nosso objetivo aqui é provar que a integral dessa função de 0 a 1 é igual a 0. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e entender como funcionam as integrais de funções que são zero na maior parte do intervalo, exceto em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral. A integral de uma função em um intervalo basicamente calcula a “área” debaixo do gráfico dessa função nesse intervalo. Mas tem um detalhe importante: se a função for zero em quase todo lugar, essa área pode acabar sendo zero.
Passo 3
No nosso caso, a função
é igual a 1 apenas em pontos específicos
e é zero em todos os outros lugares. Esses pontos
são exemplos de pontos isolados no intervalo
. Ou seja, não eles não formam um intervalo, mas sim uma sequência de pontos cada vez mais próximos de 0.
Passo 4
Vamos pensar agora na “largura” desses pontos onde
. Cada ponto individual tem largura zero. Na integral, a “área” de um ponto com largura zero também é zero. Então, mesmo que a função seja 1 nesses pontos, como são apenas pontos isolados, eles não contribuem para a área total.
Passo 5
Como a função
é zero em todo lugar, exceto em pontos com largura zero onde ela é 1, a integral de
de 0 a 1 será a soma dessas áreas, que são todas zero.
Resposta
Portanto, a integral de
de 0 a 1 é igual a 0:
Exercícios relacionados
Seja
uma função contínua. Prove que:
(b) Se para todo
e
, então
para todo
.
(b) Se
Seja
uma função contínua e seja
uma função crescente.
(a) Prove que existe um tal que
(a) Prove que existe um
Seja
uma função tal que
é contínua em
, e sejam
e
. Considere uma função
contínua em
. Prove que
Suponha
integrável em
. Prove que