Seja definida por á Prove que .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função definida no intervalo . Essa função é especial: ela vale 1 quando é igual a (onde é um número natural, tipo 1, 2, 3, e assim por diante) e vale 0 em todos os outros casos. Nosso objetivo aqui é provar que a integral dessa função de 0 a 1 é igual a 0. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e entender como funcionam as integrais de funções que são zero na maior parte do intervalo, exceto em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral. A integral de uma função em um intervalo basicamente calcula a “área” debaixo do gráfico dessa função nesse intervalo. Mas tem um detalhe importante: se a função for zero em quase todo lugar, essa área pode acabar sendo zero.

Passo 3

No nosso caso, a função é igual a 1 apenas em pontos específicos e é zero em todos os outros lugares. Esses pontos são exemplos de pontos isolados no intervalo . Ou seja, não eles não formam um intervalo, mas sim uma sequência de pontos cada vez mais próximos de 0.

Passo 4

Vamos pensar agora na “largura” desses pontos onde . Cada ponto individual tem largura zero. Na integral, a “área” de um ponto com largura zero também é zero. Então, mesmo que a função seja 1 nesses pontos, como são apenas pontos isolados, eles não contribuem para a área total.

Passo 5

Como a função é zero em todo lugar, exceto em pontos com largura zero onde ela é 1, a integral de de 0 a 1 será a soma dessas áreas, que são todas zero.

Resposta

Portanto, a integral de de 0 a 1 é igual a 0:

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Seja uma função contínua. Prove que:
(b) Se para todo e , então para todo .
Seja uma função contínua e seja uma função crescente.
(a) Prove que existe um tal que
Seja uma função tal que é contínua em , e sejam e . Considere uma função contínua em . Prove que
Suponha integrável em . Prove que