Seja g uma função tal que g^prime é contínua em [c, d], e sejam a=g(c) e b=g(d). Considere uma função f contínua em g([c, d]). Prove que
integrala^b f(x) d x=integralc^d f(g(t)) g^prime(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que a integral de uma função f(x) de a até b é igual à integral de f(g(t)) multiplicada pela derivada de g(t) de c até d. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a substituição na integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as variáveis de integração usando uma função diferenciável g(t).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. A integral integrala^b f(x) dx representa a área sob a curva de f(x) entre x = a e x = b. Agora, quando temos uma função composta como f(g(t)), estamos basicamente “transformando” o eixo x através de g(t).

Passo 3

A chave aqui é a substituição. Vamos fazer uma mudança de variável onde x = g(t). Para isso, precisamos calcular a derivada de g(t), que é g'(t). Essa derivada nos ajuda a ajustar o “fator de escala” na área quando fazemos a mudança de variável.

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. Se x = g(t), então quando t = c, x = g(c) = a, e quando t = d, x = g(d) = b. Assim, ao mudar de variável, nossos novos limites de integração serão de c a d.

Passo 5

Agora, substituímos x por g(t) na integral original. A integral integrala^b f(x) dx se transforma em integralc^d f(g(t)) g'(t) dt. Aqui, f(g(t)) substitui f(x) e g'(t) dt é o ajuste necessário devido à mudança de variável.

Resposta

Portanto, provamos que
integrala^b f(x) d x=integralc^d f(g(t)) g^prime(t) d t

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