Seja uma função tal que é contínua em , e sejam e . Considere uma função contínua em . Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que a integral de uma função de até é igual à integral de multiplicada pela derivada de de até . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a substituição na integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as variáveis de integração usando uma função diferenciável .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. A integral representa a área sob a curva de entre e . Agora, quando temos uma função composta como , estamos basicamente “transformando” o eixo através de .
Passo 3
A chave aqui é a substituição. Vamos fazer uma mudança de variável onde . Para isso, precisamos calcular a derivada de , que é . Essa derivada nos ajuda a ajustar o “fator de escala” na área quando fazemos a mudança de variável.
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. Se , então quando , , e quando , . Assim, ao mudar de variável, nossos novos limites de integração serão de a .
Passo 5
Agora, substituímos por na integral original. A integral se transforma em . Aqui, substitui e é o ajuste necessário devido à mudança de variável.