Seja uma função tal que é contínua em , e sejam e . Considere uma função contínua em . Prove que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que a integral de uma função de até é igual à integral de multiplicada pela derivada de de até . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a substituição na integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as variáveis de integração usando uma função diferenciável .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. A integral representa a área sob a curva de entre e . Agora, quando temos uma função composta como , estamos basicamente “transformando” o eixo através de .

Passo 3

A chave aqui é a substituição. Vamos fazer uma mudança de variável onde . Para isso, precisamos calcular a derivada de , que é . Essa derivada nos ajuda a ajustar o “fator de escala” na área quando fazemos a mudança de variável.

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. Se , então quando , , e quando , . Assim, ao mudar de variável, nossos novos limites de integração serão de a .

Passo 5

Agora, substituímos por na integral original. A integral se transforma em . Aqui, substitui e é o ajuste necessário devido à mudança de variável.

Resposta

Portanto, provamos que

Exercícios relacionados

Seja definida por á Prove que .
Seja uma função contínua. Prove que:
(b) Se para todo e , então para todo .
Suponha integrável em . Prove que
Seja um intervalo da reta. Dizemos que uma propriedade vale quase sempre (q.s. ou q.t.p.) quando o conjunto dos para os quais a propriedade falha, é de medida nula. Por exemplo, uma função é contínua quase sempre em quando o conjunto é descontínua em é de medida nula.
© Prove que, se e são contínuas quase sempre em , então é contínua quase sempre em .