Seja
uma função tal que
é contínua em
, e sejam
e
. Considere uma função
contínua em
. Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que a integral de uma função
de
até
é igual à integral de
multiplicada pela derivada de
de
até
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a substituição na integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar as variáveis de integração usando uma função diferenciável
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. A integral
representa a área sob a curva de
entre
e
. Agora, quando temos uma função composta como
, estamos basicamente “transformando” o eixo
através de
.
Passo 3
A chave aqui é a substituição. Vamos fazer uma mudança de variável onde
. Para isso, precisamos calcular a derivada de
, que é
. Essa derivada nos ajuda a ajustar o “fator de escala” na área quando fazemos a mudança de variável.
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. Se
, então quando
,
, e quando
,
. Assim, ao mudar de variável, nossos novos limites de integração serão de
a
.
Passo 5
Agora, substituímos
por
na integral original. A integral
se transforma em
. Aqui,
substitui
e
é o ajuste necessário devido à mudança de variável.
Resposta
Portanto, provamos que