Seja
a função dada por
. Mostre que
é bijetora.
Passo 1
Aqui, a gente tem o enunciado: Seja
a função dada por
. Precisamos mostrar que
é bijetora, ou seja, que ela é tanto injetora quanto sobrejetora. Para isso, vamos revisar o que cada termo significa e verificar essas propriedades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função injetora. Uma função é injetora se cada elemento do domínio é mapeado para um elemento distinto no contradomínio. Em outras palavras, se
então necessariamente
.
Passo 3
Vamos verificar se
é injetora. Suponha que
:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Portanto:
Isso mostra que se
, então
deve ser igual a
. Logo,
é injetora.
Passo 4
Agora, vamos entender o que é uma função sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio. Ou seja, para todo
em
, existe um
em
tal que
.
Passo 5
Vamos verificar se
é sobrejetora. Seja
. Queremos encontrar
em termos de
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Somando 1:
Como
, o termo
é não-negativo, garantindo que
, que está no domínio de
. Portanto, para todo
em
, existe um
em
tal que
. Assim,
é sobrejetora.
Resposta
Como
é tanto injetora quanto sobrejetora, concluímos que a função
é bijetora.
Exercícios relacionados
Use transformações no gráfico para esboçar os gráficos das funções abaixo, destacando quais tipos de transformações estão sendo utilizados.
Seja
. Determine
quando
.
Sejam
e
dois conjuntos não vazios. Dê um exemplo de função bijetora.
Considere as funções
e
. Determine o domínio máximo de definição para
e
.