Seja a função dada por . Mostre que é bijetora.

Passo 1

Aqui, a gente tem o enunciado: Seja a função dada por . Precisamos mostrar que é bijetora, ou seja, que ela é tanto injetora quanto sobrejetora. Para isso, vamos revisar o que cada termo significa e verificar essas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função injetora. Uma função é injetora se cada elemento do domínio é mapeado para um elemento distinto no contradomínio. Em outras palavras, se então necessariamente .

Passo 3

Vamos verificar se é injetora. Suponha que :
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Portanto:
Isso mostra que se , então deve ser igual a . Logo, é injetora.

Passo 4

Agora, vamos entender o que é uma função sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio. Ou seja, para todo em , existe um em tal que .

Passo 5

Vamos verificar se é sobrejetora. Seja . Queremos encontrar em termos de :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Somando 1:
Como , o termo é não-negativo, garantindo que , que está no domínio de . Portanto, para todo em , existe um em tal que . Assim, é sobrejetora.

Resposta

Como é tanto injetora quanto sobrejetora, concluímos que a função é bijetora.

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Use transformações no gráfico para esboçar os gráficos das funções abaixo, destacando quais tipos de transformações estão sendo utilizados.
Seja . Determine quando .
Sejam e dois conjuntos não vazios. Dê um exemplo de função bijetora.
Considere as funções e . Determine o domínio máximo de definição para e .