Seja
tal que
. Use o TVI para mostrar que
assume o valor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a função
assume o valor
no intervalo
. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) pra isso. Para aplicar o TVI, precisamos saber que a função é contínua nesse intervalo e identificar dois pontos onde a função tenha valores de sinais opostos em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender se a função
é contínua no intervalo
. Sabemos que funções polinomiais como
e
são contínuas em todo lugar, e a raiz quadrada de uma função contínua onde ela está definida também é contínua. Então,
é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
pra ver onde a função está em relação a
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Observamos que
e
. Queremos mostrar que
em algum ponto do intervalo. Como
, e
é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, a função deve assumir todo valor entre
e
, inclusive
.
Passo 5
Portanto, existe pelo menos um
em
tal que
, conforme o Teorema do Valor Intermediário nos garante.
Resposta
A função
assume o valor
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Uma xícara de café quente tem a temperatura de
em uma sala mantida a
. Depois de meia hora, o chocolate quente esfriou para
. Qual a temperatura do café depois de mais meia hora?
Uma amostra de 100 mg de uma substância radioativa decai para
de sua quantidade original depois de 2 anos. Qual é a meia-vida da substância?
Calcule a derivada das seguintes funções:
Uma amostra de 100 mg de uma substância radioativa decai para
de sua quantidade original depois de 2 anos. Quanto tempo levaria para a amostra decair para
de sua quantidade original?