Seja an=1n+1+1n+2+ldots+12 n, n=1,2, ldots Escreva an=1n 11+1n+1n 11+2n+ldots+ 1n 11+n-1n+1n 11+nn, n=1,2, ldots Observe que ln 2=integral0^1 11+x d x. Se escrevemos f(x)=11+x e particionarmos o intervalo [0,1] em n partes iguais de comprimento 1n teremos an= sumk=1^n 1n f(kn). Prove que lim n infty an=ln 2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma sequência definida por:
an = 1n+1 + 1n+2 + ldots + 12n, n = 1, 2, ldots
O objetivo é mostrar que, quando tende ao infinito, se aproxima de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a ideia de somas de Riemann, que nos ajudam a aproximar integrais usando somas discretas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever 1n + k = 1n cdot 11 + kn de uma forma que facilite a aplicação das somas de Riemann. Observe que podemos expressar cada termo da soma original como:
an = sumk=1^n 1n cdot 11 + kn
onde varia de 1 a . Assim, podemos reescrever como:
Isso nos mostra que é uma soma de Riemann para a função no intervalo .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma soma de Riemann. Se tivermos uma função contínua sumk=1^n f(xk) De no intervalo e dividirmos esse intervalo em partes iguais, cada uma de comprimento , então a soma de Riemann é dada por:
onde é um ponto no -ésimo subintervalo. No nosso caso, , , , e .

Passo 4

Aplicando isso à nossa situação, temos:
an = sumk=1^n 1n cdot f(kn)
onde . Isso é exatamente uma soma de Riemann para a função no intervalo .

Passo 5

Sabemos que, à medida que limn to infty sumk=1^n f(kn) 1n = integral0^1 f(x) , dx cresce, as somas de Riemann se aproximam da integral da função no intervalo considerado. Ou seja:
integral0^1 11 + x , dx
Substituindo , temos:

Passo 6

Vamos calcular essa integral:
integral0^1 11 + x , dx = [ ln|1 + x| ]0^1 = ln(2) - ln(1) = ln(2)

Passo 7

Portanto, concluímos que:
limn to infty an = ln(2)

Resposta

O limite de quando tende ao infinito é .

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