Seja
Escreva
Observe que
. Se escrevemos
e particionarmos o intervalo
em
partes iguais de comprimento
teremos
. Prove que
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma sequência definida por:
O objetivo é mostrar que, quando
tende ao infinito,
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a ideia de somas de Riemann, que nos ajudam a aproximar integrais usando somas discretas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
de uma forma que facilite a aplicação das somas de Riemann. Observe que podemos expressar cada termo da soma original como:
onde
varia de 1 a
. Assim, podemos reescrever
como:
Isso nos mostra que
é uma soma de Riemann para a função
no intervalo
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma soma de Riemann. Se tivermos uma função contínua
no intervalo
e dividirmos esse intervalo em
partes iguais, cada uma de comprimento
, então a soma de Riemann é dada por:
onde
é um ponto no
-ésimo subintervalo. No nosso caso,
,
,
, e
.
Passo 4
Aplicando isso à nossa situação, temos:
onde
. Isso é exatamente uma soma de Riemann para a função
no intervalo
.
Passo 5
Sabemos que, à medida que
cresce, as somas de Riemann se aproximam da integral da função no intervalo considerado. Ou seja:
Substituindo
, temos:
Passo 6
Vamos calcular essa integral:
Passo 7
Portanto, concluímos que:
Resposta
O limite de
quando
tende ao infinito é
.