Seja Escreva Observe que . Se escrevemos e particionarmos o intervalo em partes iguais de comprimento teremos . Prove que .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma sequência definida por:
O objetivo é mostrar que, quando tende ao infinito, se aproxima de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a ideia de somas de Riemann, que nos ajudam a aproximar integrais usando somas discretas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que facilite a aplicação das somas de Riemann. Observe que podemos expressar cada termo da soma original como:
onde varia de 1 a . Assim, podemos reescrever como:
Isso nos mostra que é uma soma de Riemann para a função no intervalo .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma soma de Riemann. Se tivermos uma função contínua no intervalo e dividirmos esse intervalo em partes iguais, cada uma de comprimento , então a soma de Riemann é dada por:
onde é um ponto no -ésimo subintervalo. No nosso caso, , , , e .

Passo 4

Aplicando isso à nossa situação, temos:
onde . Isso é exatamente uma soma de Riemann para a função no intervalo .

Passo 5

Sabemos que, à medida que cresce, as somas de Riemann se aproximam da integral da função no intervalo considerado. Ou seja:
Substituindo , temos:

Passo 6

Vamos calcular essa integral:

Passo 7

Portanto, concluímos que:

Resposta

O limite de quando tende ao infinito é .

Exercícios relacionados

Sabendo que , nos itens e encontre a função e no item (b) a função .
(a)
.
.
© .
(d) .
Seja uma função não identicamente nula que cumpre a seguinte relação: .
(a) Se for diferenciável, então , onde é constante.
(b) Se for contínua, então , onde é constante.
Sejam . Defina para cada as funções e pondo:
e
onde representa a derivada de ordem da função . Prove as seguintes relações:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(g) e .
Use o exercício (16b) para provar as seguintes relações:
(a)
(b)
©