Seja Escreva Observe que . Se escrevemos e particionarmos o intervalo em partes iguais de comprimento teremos . Prove que .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma sequência definida por:
O objetivo é mostrar que, quando tende ao infinito, se aproxima de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a ideia de somas de Riemann, que nos ajudam a aproximar integrais usando somas discretas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever de uma forma que facilite a aplicação das somas de Riemann. Observe que podemos expressar cada termo da soma original como:
onde varia de 1 a . Assim, podemos reescrever como:
Isso nos mostra que é uma soma de Riemann para a função no intervalo .
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma soma de Riemann. Se tivermos uma função contínua no intervalo e dividirmos esse intervalo em partes iguais, cada uma de comprimento , então a soma de Riemann é dada por:
onde é um ponto no -ésimo subintervalo. No nosso caso, , , , e .
Passo 4
Aplicando isso à nossa situação, temos:
onde . Isso é exatamente uma soma de Riemann para a função no intervalo .
Passo 5
Sabemos que, à medida que cresce, as somas de Riemann se aproximam da integral da função no intervalo considerado. Ou seja: