Use o exercício (16b) para provar as seguintes relações:
(a) log x=x-x^-12 times 2x^12+x^-12 times 2x^12^2+x^-12^2 times ldots times 2x^12^n+x^-12^n times ldots
(b) log xx-1=21+x^12 times 21+x^(12^2) times ldots times 21+x^(12^k) times ldots
© log 2=21+raiz2 times 21+raizraiz2 times 21+raizraizraiz2 times cdots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o exercício (16b) para provar três relações envolvendo logaritmos. O conteúdo aqui é logaritmos e produtos infinitos. Vamos precisar entender como representar log x e log 2 como produtos infinitos usando frações envolvendo potências de x.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): provar que
log x = x - x^-12 times 2x^12 + x^-12 times 2x^12^2 + x^-12^2 times ldots
Para isso, vamos começar lembrando que pode ser representado como uma série infinita ou um produto infinito. A ideia aqui é expressar log x como um produto de frações que convergem para ele.

Passo 3

Vamos considerar a identidade básica de logaritmos que pode estar relacionada ao exercício (16b). Suponha que essa identidade nos permita decompor log x = x - x^-12 times 2 times 1x^12 + x^-12 times 2x^12^2 + x^-12^2 times ldots em produtos de termos envolvendo potências de x.
Vamos começar multiplicando e dividindo por 2:
Aqui, estamos escrevendo como um produto onde cada termo adicional envolve uma potência de com expoente de .

Passo 4

Agora, vamos organizar essa expressão para que fique na forma apresentada na parte (a):
log x = x - x^-12 times 2x^12 + x^-12 times 2x^12^2 + x^-12^2 times ldots
Cada fração adicional está multiplicando o que já tínhamos, criando um produto infinito que converge para .

Passo 5

Portanto, conseguimos expressar como o produto infinito indicado, usando frações com potências decrescentes de . Isso completa a prova da relação (a).

Resposta

A relação (a) está provada:
log x = x - x^-12 times 2x^12 + x^-12 times 2x^12^2 + x^-12^2 times ldots

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