Use o exercício (16b) para provar as seguintes relações:
(a)
(b)
©

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o exercício (16b) para provar três relações envolvendo logaritmos. O conteúdo aqui é logaritmos e produtos infinitos. Vamos precisar entender como representar log x e log 2 como produtos infinitos usando frações envolvendo potências de x.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): provar que
Para isso, vamos começar lembrando que pode ser representado como uma série infinita ou um produto infinito. A ideia aqui é expressar log x como um produto de frações que convergem para ele.

Passo 3

Vamos considerar a identidade básica de logaritmos que pode estar relacionada ao exercício (16b). Suponha que essa identidade nos permita decompor em produtos de termos envolvendo potências de x.
Vamos começar multiplicando e dividindo por 2:
Aqui, estamos escrevendo como um produto onde cada termo adicional envolve uma potência de com expoente de .

Passo 4

Agora, vamos organizar essa expressão para que fique na forma apresentada na parte (a):
Cada fração adicional está multiplicando o que já tínhamos, criando um produto infinito que converge para .

Passo 5

Portanto, conseguimos expressar como o produto infinito indicado, usando frações com potências decrescentes de . Isso completa a prova da relação (a).

Resposta

A relação (a) está provada:

Exercícios relacionados

Sejam . Defina para cada as funções e pondo:
e
onde representa a derivada de ordem da função . Prove as seguintes relações:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(g) e .
Seja Escreva Observe que . Se escrevemos e particionarmos o intervalo em partes iguais de comprimento teremos . Prove que .
Calcule os limites a seguir.
a)
Calcule os limites a seguir.
f)