Use o exercício (16b) para provar as seguintes relações:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o exercício (16b) para provar três relações envolvendo logaritmos. O conteúdo aqui é logaritmos e produtos infinitos. Vamos precisar entender como representar log x e log 2 como produtos infinitos usando frações envolvendo potências de x.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a): provar que
Para isso, vamos começar lembrando que
pode ser representado como uma série infinita ou um produto infinito. A ideia aqui é expressar log x como um produto de frações que convergem para ele.
Passo 3
Vamos considerar a identidade básica de logaritmos que pode estar relacionada ao exercício (16b). Suponha que essa identidade nos permita decompor
em produtos de termos envolvendo potências de x.
Vamos começar multiplicando e dividindo
por 2:
Aqui, estamos escrevendo
como um produto onde cada termo adicional envolve uma potência de
com expoente de
.
Passo 4
Agora, vamos organizar essa expressão para que fique na forma apresentada na parte (a):
Cada fração adicional está multiplicando o que já tínhamos, criando um produto infinito que converge para
.
Passo 5
Portanto, conseguimos expressar
como o produto infinito indicado, usando frações com potências decrescentes de
. Isso completa a prova da relação (a).
Resposta
A relação (a) está provada:
Exercícios relacionados
Sejam
. Defina para cada
as funções
e
pondo:
e
onde
representa a derivada de ordem
da função
. Prove as seguintes relações:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(g) e
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Seja
Escreva
Observe que
. Se escrevemos
e particionarmos o intervalo
em
partes iguais de comprimento
teremos
. Prove que
.
Calcule os limites a seguir.
a)
a)
Calcule os limites a seguir.
f)
f)