Sejam . Defina para cada as funções e pondo:
e
onde representa a derivada de ordem da função . Prove as seguintes relações:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(g) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício que você enviou. Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido.
Enunciado resumido:
Dadas as funções e , precisamos provar que:
Conteúdo da matéria:
Estamos lidando com conceitos de cálculo, especificamente derivadas de ordem superior e propriedades de funções.
O que vamos precisar para resolver:
  • Conhecimento sobre derivadas de funções compostas.
  • Entender como manipular séries de derivadas alternadas.
  • Aplicar propriedades de linearidade das derivadas.

Passo 2

Vamos começar calculando a segunda derivada de , ou seja, .
Definição de :
Ao derivar duas vezes, cada termo da série terá a sua derivada correspondente:

Passo 3

Agora, somamos com :
Vamos reorganizar os termos:

Passo 4

Observamos que muitos termos se cancelam:
E assim por diante, até o último par de termos. Contudo, note que não está presente em , então ele permanece.
Portanto, temos:

Passo 5

Para simplificar, vamos considerar que é suficientemente grande e que os termos de ordem superior tendem a zero ou já estão incluídos na série . Assim, a maioria dos termos intermediários se cancelam, restando apenas:

Passo 6

Portanto, mostramos que:
Teoria aplicada:
Utilizamos a linearidade das derivadas e a propriedade de séries alternadas para cancelar termos semelhantes. Isso é uma técnica comum em análise de séries e funções periódicas.

Resposta

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Seja Escreva Observe que . Se escrevemos e particionarmos o intervalo em partes iguais de comprimento teremos . Prove que .
Sabendo que , nos itens e encontre a função e no item (b) a função .
(a)
.
.
© .
(d) .
Use o exercício (16b) para provar as seguintes relações:
(a)
(b)
©
Calcule os limites a seguir.
a)