Sejam
. Defina para cada
as funções
e
pondo:
e
onde
representa a derivada de ordem
da função
. Prove as seguintes relações:
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(g)
e
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício que você enviou. Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido.
Enunciado resumido:
Dadas as funções e
, precisamos provar que:
Dadas as funções
Conteúdo da matéria:
Estamos lidando com conceitos de cálculo, especificamente derivadas de ordem superior e propriedades de funções.
Estamos lidando com conceitos de cálculo, especificamente derivadas de ordem superior e propriedades de funções.
O que vamos precisar para resolver:
- Conhecimento sobre derivadas de funções compostas.
- Entender como manipular séries de derivadas alternadas.
- Aplicar propriedades de linearidade das derivadas.
Passo 2
Vamos começar calculando a segunda derivada de
, ou seja,
.
Definição de
:
Ao derivar
duas vezes, cada termo da série terá a sua derivada correspondente:
Passo 3
Agora, somamos
com
:
Vamos reorganizar os termos:
Passo 4
Observamos que muitos termos se cancelam:
E assim por diante, até o último par de termos. Contudo, note que
não está presente em
, então ele permanece.
Portanto, temos:
Passo 5
Para simplificar, vamos considerar que
é suficientemente grande e que os termos de ordem superior
tendem a zero ou já estão incluídos na série
. Assim, a maioria dos termos intermediários se cancelam, restando apenas:
Passo 6
Portanto, mostramos que:
Teoria aplicada:
Utilizamos a linearidade das derivadas e a propriedade de séries alternadas para cancelar termos semelhantes. Isso é uma técnica comum em análise de séries e funções periódicas.
Utilizamos a linearidade das derivadas e a propriedade de séries alternadas para cancelar termos semelhantes. Isso é uma técnica comum em análise de séries e funções periódicas.