Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício que você enviou. Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido.
Enunciado resumido:
Dadas as funções e , precisamos provar que:
Conteúdo da matéria:
Estamos lidando com conceitos de cálculo, especificamente derivadas de ordem superior e propriedades de funções.
O que vamos precisar para resolver:
Conhecimento sobre derivadas de funções compostas.
Entender como manipular séries de derivadas alternadas.
Aplicar propriedades de linearidade das derivadas.
Passo 2
Vamos começar calculando a segunda derivada de , ou seja, .
Definição de :
Ao derivar duas vezes, cada termo da série terá a sua derivada correspondente:
Passo 3
Agora, somamos com :
Vamos reorganizar os termos:
Passo 4
Observamos que muitos termos se cancelam:
E assim por diante, até o último par de termos. Contudo, note que não está presente em , então ele permanece.
Portanto, temos:
Passo 5
Para simplificar, vamos considerar que é suficientemente grande e que os termos de ordem superior tendem a zero ou já estão incluídos na série . Assim, a maioria dos termos intermediários se cancelam, restando apenas:
Passo 6
Portanto, mostramos que:
Teoria aplicada:
Utilizamos a linearidade das derivadas e a propriedade de séries alternadas para cancelar termos semelhantes. Isso é uma técnica comum em análise de séries e funções periódicas.