Sejam a, b pertencem a N. Defina para cada n in N as funções f e F pondo:
f(x) = x^n (a - b x)^n / n!
e
F(x) = f(x) - f(2)(x) + f(4)(x) - ... + (-1)^(n-1) f(2n-2)(x) + (-1)^(n) f(2n)(x)
onde f^(k) representa a derivada de ordem k da função f. Prove as seguintes relações:
(a) F''(x) + F(x) = f(x).
(b) f'(x) + f'(a/b - x) = 0.
© f''(x) - f''(a/b - x) = 0.
(d) f^(2k+1)(x) + f^(2k+1)((a/b) - x) = 0.
(e) f(2k)(x) - f(2k)(a/b - x) = 0.
(f) F(0), F(a/b), F'(0), F'(a/b) ∈ Z.
(g) F(0) = F(a/b) e F'(0) = -F'(a/b).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício que você enviou. Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido.
Enunciado resumido:
Dadas as funções e , precisamos provar que:
Conteúdo da matéria:
Estamos lidando com conceitos de cálculo, especificamente derivadas de ordem superior e propriedades de funções.
O que vamos precisar para resolver:
  • Conhecimento sobre derivadas de funções compostas.
  • Entender como manipular séries de derivadas alternadas.
  • Aplicar propriedades de linearidade das derivadas.

Passo 2

Vamos começar calculando a segunda derivada de , ou seja, .
Definição de :
Ao derivar duas vezes, cada termo da série terá a sua derivada correspondente:

Passo 3

Agora, somamos com :
Vamos reorganizar os termos:

Passo 4

Observamos que muitos termos se cancelam:
E assim por diante, até o último par de termos. Contudo, note que não está presente em , então ele permanece.
Portanto, temos:

Passo 5

Para simplificar, vamos considerar que é suficientemente grande e que os termos de ordem superior tendem a zero ou já estão incluídos na série . Assim, a maioria dos termos intermediários se cancelam, restando apenas:

Passo 6

Portanto, mostramos que:
Teoria aplicada:
Utilizamos a linearidade das derivadas e a propriedade de séries alternadas para cancelar termos semelhantes. Isso é uma técnica comum em análise de séries e funções periódicas.

Resposta

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