Seja F(x, y) = ((y-1)/(x^2 + (y-1)^2) - y, -x/(x^2 + (y-1)^2)), (x, y) != (0, 1). Calcule a integral de linha do campo F ao longo de C1 e C2, orientadas no sentido anti-horário, onde
(a) C1: x^2 + (y - 1)^2 = 1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial definido para todo ponto diferente de . A missão aqui é calcular a integral de linha desse campo ao longo do contorno , que é uma circunferência de raio 1 centrada no ponto . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linhas com integrais duplas sobre a região delimitada pelo contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região delimitada por . Como é a circunferência , é o disco de raio 1 centrado em .

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
onde . Então, vamos identificar e e calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Aqui, temos:
Vamos calcular e .

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Calculando :

Passo 7

Agora, vamos calcular :
Ou seja, a diferença é igual a 1.

Passo 8

Agora, a integral dupla sobre a região fica:
Á
Como é um disco de raio 1, sua área é:
Á

Passo 9

Aplicando o Teorema de Green:

Resposta

A integral de linha do campo ao longo de é igual a .

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