Seja
. Calcule a integral de linha do campo
ao longo de
e
, orientadas no sentido anti-horário, onde
(a)
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
definido para todo ponto
diferente de
. A missão aqui é calcular a integral de linha desse campo ao longo do contorno
, que é uma circunferência de raio 1 centrada no ponto
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linhas com integrais duplas sobre a região delimitada pelo contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região
delimitada por
. Como
é a circunferência
,
é o disco de raio 1 centrado em
.
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
onde
. Então, vamos identificar
e
e calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Aqui, temos:
Vamos calcular
e
.
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Calculando
:
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Ou seja, a diferença é igual a 1.
Passo 8
Agora, a integral dupla sobre a região
fica:
Como
é um disco de raio 1, sua área é:
Passo 9
Aplicando o Teorema de Green:
Resposta
A integral de linha do campo
ao longo de
é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja
.
(a) é conservativo? Por quê?
(a)
Seja
uma curva simétrica em relação ao eixo
, que vai de
a
, como mostrada na figura ao lado. Sabendo-se que a área da região delimitada por
e o eixo
vale 16 , calcule o trabalho realizado pela força
Seja
de classe
em
, tal que
. Sejam
e
. Calcule
, sabendo que
e
.
Seja
.
© Calcule , orientada no sentido anti-horário.
© Calcule