Seja de classe em , tal que . Sejam e . Calcule , sabendo que e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial que é do tipo no conjunto . A equação dada é . Temos três curvas: , e , definidas por equações de círculos específicos. A tarefa é calcular a integral de linha , usando as relações fornecidas entre as integrais nas diferentes curvas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o Teorema de Green e propriedades de integrais em campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada: . Podemos rearranjar isso para obter . Segundo o Teorema de Green, a integral de linha de ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região limitada pela curva da diferença das derivadas parciais:
Isso nos mostra que a integral de linha está relacionada à integral dupla da função sobre a área interna da curva.

Passo 3

Agora, vamos considerar as curvas , e . é um círculo de raio 4 centrado na origem, enquanto e são círculos de raio 2 centrados em e , respectivamente. Como exclui os pontos e , as integrais ao redor de e capturam possíveis contribuições das singularidades nesses pontos.

Passo 4

Da primeira relação dada:
Isso nos diz que a integral ao redor de é igual à integral ao redor de menos .

Passo 5

Da segunda relação:
Aqui, a integral ao redor de é igual à integral ao redor de menos .

Passo 6

Vamos agora montar um sistema de equações com base nas relações que temos:
Além disso, sabemos que a integral ao redor de deve ser a soma das integrais ao redor de e , já que engloba ambas as outras curvas:
Isso nos dá uma terceira equação:
3.

Passo 7

Agora, substituindo a equação (2) na equação (1):
Rearranjando:

Passo 8

Usando a equação (3):
Substituindo na equação do Passo 7:

Resposta

Exercícios relacionados

Seja . Calcule a integral de linha do campo ao longo de e , orientadas no sentido anti-horário, onde
(a) ;
Seja .
(a) é conservativo? Por quê?
Seja .
© Calcule , orientada no sentido anti-horário.
Calcule , onde e é dada por (a) , sen .