Seja F=(P, Q) de classe C^1 em U=R^2-(0,2),(0,-2), tal que partial Qpartial x=x+2+partial Ppartial y. Sejam C1: x^2+y^2=16, C2: x^2+(y-2)^2=4 e C3: x^2+(y+2)^2=4. Calcule ointC2 F cdot d r, sabendo que ointC1 F cdot d r-10 pi=ointC2 F cdot d r e ointC2 F cdot d r=ointC3 F cdot d r-8 pi.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial F = (P, Q) que é do tipo C^1 no conjunto U = R^2 - (0,2), (0,-2). A equação dada é partial Qpartial x = x + 2 + partial Ppartial y. Temos três curvas: C1, C2 e C3, definidas por equações de círculos específicos. A tarefa é calcular a integral de linha ointC2 F cdot d r, usando as relações fornecidas entre as integrais nas diferentes curvas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o Teorema de Green e propriedades de integrais em campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada: partial Qpartial x = x + 2 + partial Ppartial y. Podemos rearranjar isso para obter partial Ppartial y - partial Qpartial x = -(x + 2). Segundo o Teorema de Green, a integral de linha de F ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região limitada pela curva da diferença das derivadas parciais:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy = integral duplaD (x + 2) , dx , dy
Isso nos mostra que a integral de linha está relacionada à integral dupla da função (x + 2) sobre a área interna da curva.

Passo 3

Agora, vamos considerar as curvas C1, C2 e C3. C1 é um círculo de raio 4 centrado na origem, enquanto C2 e C3 são círculos de raio 2 centrados em (0,2) e (0,-2), respectivamente. Como U exclui os pontos (0,2) e (0,-2), as integrais ao redor de C2 e C3 capturam possíveis contribuições das singularidades nesses pontos.

Passo 4

Da primeira relação dada:
ointC1 F cdot d r - 10pi = ointC2 F cdot d r
Isso nos diz que a integral ao redor de C2 é igual à integral ao redor de C1 menos 10pi.

Passo 5

Da segunda relação:
ointC2 F cdot d r = ointC3 F cdot d r - 8pi
Aqui, a integral ao redor de C2 é igual à integral ao redor de C3 menos 8pi.

Passo 6

Vamos agora montar um sistema de equações com base nas relações que temos:
  1. ointC1 F cdot d r - 10pi = ointC2 F cdot d r (1)
  2. ointC2 F cdot d r = ointC3 F cdot d r - 8pi (2)
Além disso, sabemos que a integral ao redor de C1 deve ser a soma das integrais ao redor de C2 e C3, já que C1 engloba ambas as outras curvas:
ointC1 F cdot d r = ointC2 F cdot d r + ointC3 F cdot d r
Isso nos dá uma terceira equação:
3. ointC1 F cdot d r = ointC2 F cdot d r + ointC3 F cdot d r (3)

Passo 7

Agora, substituindo a equação (2) na equação (1):
ointC1 F cdot d r - 10pi = ointC3 F cdot d r - 8pi
Rearranjando:
ointC1 F cdot d r - ointC3 F cdot d r = 2pi

Passo 8

Usando a equação (3):
ointC1 F cdot d r = ointC2 F cdot d r + ointC3 F cdot d r
Substituindo na equação do Passo 7:
( ointC2 F cdot d r + ointC3 F cdot d r ) - ointC3 F cdot d r = 2pi Rightarrow ointC2 F cdot d r = 2pi

Resposta

ointC2 F cdot d r = 2 pi

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