Seja
de classe
em
, tal que
. Sejam
e
. Calcule
, sabendo que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
que é do tipo
no conjunto
. A equação dada é
. Temos três curvas:
,
e
, definidas por equações de círculos específicos. A tarefa é calcular a integral de linha
, usando as relações fornecidas entre as integrais nas diferentes curvas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o Teorema de Green e propriedades de integrais em campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
. Podemos rearranjar isso para obter
. Segundo o Teorema de Green, a integral de linha de
ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região limitada pela curva da diferença das derivadas parciais:
Isso nos mostra que a integral de linha está relacionada à integral dupla da função
sobre a área interna da curva.
Passo 3
Agora, vamos considerar as curvas
,
e
.
é um círculo de raio 4 centrado na origem, enquanto
e
são círculos de raio 2 centrados em
e
, respectivamente. Como
exclui os pontos
e
, as integrais ao redor de
e
capturam possíveis contribuições das singularidades nesses pontos.
Passo 4
Da primeira relação dada:
Isso nos diz que a integral ao redor de
é igual à integral ao redor de
menos
.
Passo 5
Da segunda relação:
Aqui, a integral ao redor de
é igual à integral ao redor de
menos
.
Passo 6
Vamos agora montar um sistema de equações com base nas relações que temos:
Além disso, sabemos que a integral ao redor de
deve ser a soma das integrais ao redor de
e
, já que
engloba ambas as outras curvas:
Isso nos dá uma terceira equação:
3.
3.
Passo 7
Agora, substituindo a equação (2) na equação (1):
Rearranjando:
Passo 8
Usando a equação (3):
Substituindo na equação do Passo 7:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
. Calcule a integral de linha do campo
ao longo de
e
, orientadas no sentido anti-horário, onde
(a) ;
(a)
Seja
.
(a) é conservativo? Por quê?
(a)
Seja
.
© Calcule , orientada no sentido anti-horário.
© Calcule
Calcule
, onde
e
é dada por (a)
, sen
.