Seja F=(P, Q)=(cos (x^2)+x^2 y^3-y2-x, x^3 y^2+ln (2-x)).
© Calcule integralC F cdot d r, C:(x-1)^2+y^2=1, x <= 1, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva , que é definida por com , e a orientação é no sentido anti-horário. Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e campos conservativos. Para resolver, vamos verificar se o campo é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial que nos permite simplificar o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo P = cos(x^2) + x^2 y^3 - y2 - x :
Q = x^3 y^2 + ln(2 - x)
partial Ppartial y = partialpartial y ( cos(x^2) + x^2 y^3 - y2 - x ) = 3x^2 y^2 - 12 - x
Para verificar se partial Qpartial x = partialpartial x ( x^3 y^2 + ln(2 - x) ) = 3x^2 y^2 - 12 - x é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja, se .
Calculando :
Agora, calculando :
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Como o campo é conservativo e a curva é fechada (pois descreve um círculo completo), podemos usar o teorema fundamental para integrais de linha em campos conservativos. Esse teorema nos diz que, para um campo conservativo, a integral de linha ao longo de qualquer caminho fechado é zero.

Resposta

integralC F cdot dr = 0

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