Seja
.
© Calcule
, orientada no sentido anti-horário.
© Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
, que é definida por
com
, e a orientação é no sentido anti-horário. Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e campos conservativos. Para resolver, vamos verificar se o campo
é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial que nos permite simplificar o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do campo
:
Para verificar se
é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja, se
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 3
Como o campo
é conservativo e a curva
é fechada (pois
descreve um círculo completo), podemos usar o teorema fundamental para integrais de linha em campos conservativos. Esse teorema nos diz que, para um campo conservativo, a integral de linha ao longo de qualquer caminho fechado é zero.