Seja
contínua. Defina a sequência de funções
Mostre que:
(I)
é uma função contínua.
(I)
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos uma função contínua
definida no intervalo
e queremos analisar a sequência de funções
definida por
O objetivo é mostrar que cada função
é contínua no intervalo
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade de funções definidas por integrais e propriedades básicas da análise de funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “quebras” no gráfico dessa função naquele ponto. No nosso caso, queremos mostrar que
é contínua em todo o intervalo
.
Passo 3
Vamos observar a expressão de
. Ela envolve uma integral definida da função
em um intervalo que depende de
. A integração de uma função contínua em um intervalo variável pode nos dar uma função contínua, desde que certas condições sejam atendidas.
Passo 4
Sabemos que se
�� contínua em um intervalo fechado, então a integral de
sobre qualquer subintervalo também será contínua em relação às extremidades desse subintervalo. No nosso caso, as extremidades do intervalo de integração
e
dependem de
, mas como
é contínua, a integral resultante também será contínua.
Passo 5
Além disso, a função
envolve uma multiplicação da integral por
. A multiplicação por uma constante não afeta a continuidade, já que constantes são funções contínuas.
Passo 6
Portanto, combinando essas observações, concluímos que
é uma composição de funções contínuas (a integral de
e a multiplicação por
), o que garante que
também é contínua em
.
Resposta
Cada função
é contínua no intervalo
.