Seja f:[-1,2] R contínua. Defina a sequência de funções
fn(x)=n2 integralx-1n^x+1n f(t) d t, para todo x in[0,1] e todo n in N
Mostre que:
(I) fn:[0,1] R é uma função contínua.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos uma função contínua fn(x) = n2 integralx-1n^x+1n f(t) , dt, para todo x in [0,1] e todo n in N definida no intervalo e queremos analisar a sequência de funções definida por
O objetivo é mostrar que cada função é contínua no intervalo . Para isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade de funções definidas por integrais e propriedades básicas da análise de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “quebras” no gráfico dessa função naquele ponto. No nosso caso, queremos mostrar que é contínua em todo o intervalo .

Passo 3

Vamos observar a expressão de . Ela envolve uma integral definida da função em um intervalo que depende de . A integração de uma função contínua em um intervalo variável pode nos dar uma função contínua, desde que certas condições sejam atendidas.

Passo 4

Sabemos que se �� contínua em um intervalo fechado, então a integral de sobre qualquer subintervalo também será contínua em relação às extremidades desse subintervalo. No nosso caso, as extremidades do intervalo de integração e dependem de , mas como é contínua, a integral resultante também será contínua.

Passo 5

Além disso, a função envolve uma multiplicação da integral por . A multiplicação por uma constante não afeta a continuidade, já que constantes são funções contínuas.

Passo 6

Portanto, combinando essas observações, concluímos que é uma composição de funções contínuas (a integral de e a multiplicação por ), o que garante que também é contínua em .

Resposta

Cada função é contínua no intervalo .

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