Seja
um grupo abeliano finito. Mostre que:
(III) Se
, então o número de soluções da equação
em
é múltiplo de
.
(III) Se
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos um grupo abeliano finito
e queremos mostrar que, se um número
divide a ordem de
(isto é,
), então o número de soluções da equação
em
é múltiplo de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de grupos abelianos finitos e propriedades das equações em grupos.
Passo 2
Primeiro, lembramos que um grupo abeliano finito pode ser decomposto em um produto direto de grupos cíclicos. Isso significa que podemos pensar em
como sendo composto de várias “peças” menores, onde cada peça é um grupo cíclico de certa ordem.
Passo 3
Sabendo que
é abeliano e finito, pelo Teorema Fundamental dos Grupos Finitos Abelianos, podemos escrever
como
, onde cada
é um grupo cíclico de ordem
e
divide
.
Passo 4
A equação
em
significa que estamos procurando todos os elementos de
cuja ordem divide
. Em cada componente
do grupo, teremos exatamente
soluções para a equação
.
Passo 5
Como
divide
, que é o produto das ordens dos grupos cíclicos
,
também divide cada
. Portanto,
para cada
. Isso significa que, em cada componente
, há exatamente
soluções para
.
Passo 6
Como o grupo
é o produto direto desses grupos cíclicos, o número total de soluções da equação
em
será o produto das soluções em cada componente. Ou seja, teremos
soluções, onde
é o número de componentes cíclicas em
.
Resposta
O número de soluções da equação
em
é múltiplo de
.