Seja
um grupo abeliano finito. Mostre que:
(I) Se
é um primo tal que
, então
tem elemento de ordem
.
(I) Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um grupo abeliano finito
. Queremos mostrar que se um número primo
divide exatamente a ordem de
(ou seja,
divide
mas
não divide
), então existe pelo menos um elemento em
com ordem
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com Teoria de Grupos, especificamente com Grupos Abelianos Finitos e ordem de elementos.
O que vamos precisar:
- Compreender o conceito de grupo abeliano.
- Saber o que significa a ordem de um elemento em um grupo.
- Utilizar o Teorema de Cauchy para grupos abelianos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo abeliano. Um grupo é uma coleção de elementos com uma operação que satisfaz certas propriedades (fechamento, associatividade, existência de identidade e inversos). Se a operação também é comutativa (ou seja,
para quaisquer elementos
e
no grupo), o grupo é chamado de abeliano.
Agora, a ordem de um elemento
em
é o menor número positivo
tal que
, onde
é o elemento identidade do grupo.
Passo 3
Vamos usar o Teorema de Cauchy, que afirma que se
é um número primo que divide a ordem de um grupo finito
, então existe pelo menos um elemento em
com ordem
.
Como
é abeliano e finito, e
divide
, o teorema garante a existência de um elemento de ordem
em
.
Resposta
Portanto, se
é um primo tal que
divide exatamente a ordem de
, então
possui pelo menos um elemento de ordem
.