Seja G um grupo abeliano finito. Mostre que:
(I) Se p é um primo tal que p || G |, então G tem elemento de ordem p.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um grupo abeliano finito . Queremos mostrar que se um número primo divide exatamente a ordem de (ou seja, divide mas não divide ), então existe pelo menos um elemento em com ordem .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com Teoria de Grupos, especificamente com Grupos Abelianos Finitos e ordem de elementos.
O que vamos precisar:
  • Compreender o conceito de grupo abeliano.
  • Saber o que significa a ordem de um elemento em um grupo.
  • Utilizar o Teorema de Cauchy para grupos abelianos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um grupo abeliano. Um grupo é uma coleção de elementos com uma operação que satisfaz certas propriedades (fechamento, associatividade, existência de identidade e inversos). Se a operação também é comutativa (ou seja, para quaisquer elementos e no grupo), o grupo é chamado de abeliano.
Agora, a ordem de um elemento em é o menor número positivo tal que , onde é o elemento identidade do grupo.

Passo 3

Vamos usar o Teorema de Cauchy, que afirma que se é um número primo que divide a ordem de um grupo finito , então existe pelo menos um elemento em com ordem .
Como é abeliano e finito, e divide , o teorema garante a existência de um elemento de ordem em .

Resposta

Portanto, se é um primo tal que divide exatamente a ordem de , então possui pelo menos um elemento de ordem .

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