Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F d r, onde
F(x, y, z)=(y-x+sen x, z-x+cos y, x-y+e^z)
e C é a interseção do cilindro x^2+y^2=a^2 com o plano xa+zb=1, sendo a>0, b>0, orientada no sentido anti-horário quando vista da parte superior do eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha da função vetorial sobre a curva usando o Teorema de Stokes. Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha e o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha a integrais de superfície. Vamos precisar encontrar o rotacional de e escolher uma superfície adequada que tenha como contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o rotacional de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) , ou seja, partial Fzpartial y = partialpartial y(x - y + e^z) = -1 . O rotacional de um campo vetorial partial Fypartial z = partialpartial z(z - x + cos y) = 1 é dado por:
partial Fxpartial z = partialpartial z(y - x + sen x) = 0
Vamos calcular cada componente:
partial Fzpartial x = partialpartial x(x - y + e^z) = 1
partial Fypartial x = partialpartial x(z - x + cos y) = -1
partial Fxpartial y = partialpartial y(y - x + sen x) = 1
nabla times F = (-1 - 1, 0 - 1, -1 - 1) = (-2, -1, -2)
Portanto,

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma superfície x = a cos theta cuja borda seja a curva y = a sin theta . Como z = z é a interseção do cilindro a cos thetaa + zb = 1 implies cos theta + zb = 1 implies z = b(1 - cos theta) com o plano , podemos escolher como superfície o disco circular no cilindro, limitado por .
Vamos parametrizar a superfície em coordenadas cilíndricas. No cilindro , podemos usar:
Mas precisamos relacionar com e usando o plano . Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor normal partial rpartial theta = (-a sin theta, a cos theta, b sin theta) à superfície. Para isso, podemos considerar que a superfície é parametrizada por . Diferenciando as parametrizações:
O vetor normal é perpendicular a . Como a superfície é um cilindro vertical, podemos simplificar usando a orientação dada (sentido anti-horário visto de cima), resultando em .

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema de Stokes:
integralC F cdot dr = integralintegralS (nabla times F) cdot n , dS
Substituindo (nabla times F) cdot n = (-2)(0) + (-1)(0) + (-2)(1) = -2 e :

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral de superfície:
integralintegralS -2 , dS = -2 times Área de S Á
A superfície Área = pi a^2 é a interseção do cilindro com o plano, que forma um círculo de raio integralintegralS -2 , dS = -2 times pi a^2 = -2pi a^2 . A área de um círculo é:
Á
Portanto:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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