Seja
Determine: a) a direção de maior variação de f e a taxa de maior variação da função no ponto
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a função
e precisa descobrir duas coisas no ponto
:
a) A direção de maior variação de
.
b) A taxa de maior variação da função nesse ponto.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos dá exatamente a direção onde a função varia mais rapidamente e a magnitude desse aumento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a função
depende das variáveis
,
e
. O gradiente de
, denotado por
, é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação a cada uma dessas variáveis.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
-
Para
em : -
Para
em : -
Para
em :
Passo 5
Com isso, o gradiente de
no ponto
é:
Passo 6
A direção de maior variação de
é na direção do gradiente. Para ter uma direção unitária, normalizamos o vetor gradiente:
Passo 7
A taxa de maior variação é a magnitude do gradiente:
Resposta
a) Direção de maior variação:
b) Taxa de maior variação:
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Seja
Determine: b) a taxa de variação de f no ponto
na direção do vetor
, onde
Calcular:
Sejam
e
. Calcular:
Verificar se a função
é contínua em
.