Seja Determine: a) a direção de maior variação de f e a taxa de maior variação da função no ponto

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa descobrir duas coisas no ponto :
a) A direção de maior variação de .
b) A taxa de maior variação da função nesse ponto.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos dá exatamente a direção onde a função varia mais rapidamente e a magnitude desse aumento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a função depende das variáveis , e . O gradiente de , denotado por , é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada uma dessas variáveis.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
  1. Derivada parcial em relação a :
  2. Derivada parcial em relação a :
  3. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. Para em :
  2. Para em :
  3. Para em :

Passo 5

Com isso, o gradiente de no ponto é:

Passo 6

A direção de maior variação de é na direção do gradiente. Para ter uma direção unitária, normalizamos o vetor gradiente:
çã

Passo 7

A taxa de maior variação é a magnitude do gradiente:

Resposta

a) Direção de maior variação:
b) Taxa de maior variação:

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Seja Determine: b) a taxa de variação de f no ponto na direção do vetor , onde
Calcular:
Sejam e . Calcular:
Verificar se a função é contínua em .