Suponha que um campo vetorial F(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k seja tangente à superfície S=partial W de uma região W. É verdade que
integral triplaW nabla cdot F d V=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está acontecendo aqui! A questão fala sobre um campo vetorial F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k que é tangente à superfície S = partial W de uma região W. A pergunta é: será que a integral tripla do divergente de F sobre W é igual a zero?
Aqui, estamos lidando com Cálculo Vetorial, mais especificamente com o Teorema da Divergência. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo vetorial ser tangente a uma superfície e como isso se relaciona com o divergente do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
integral triplaW nabla cdot F , dV = integral duplaS F cdot n , dS
Isso significa que a integral tripla do divergente de F sobre a região W é igual à integral de superfície do produto escalar entre F e o vetor normal n na superfície S que delimita W.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa que o campo vetorial F é tangente à superfície S. Se F é tangente a S, isso quer dizer que, em cada ponto de S, o vetor F está paralelo à superfície, ou seja, não tem componente na direção do vetor normal n.
Matematicamente, isso se expressa como:
F cdot n = 0 em toda a superfície S í

Passo 4

Voltando ao Teorema da Divergência, já que F cdot n = 0 em toda a superfície S, a integral de superfície fica:
integral duplaS F cdot n , dS = 0
Portanto, pelo Teorema da Divergência:
integral triplaW nabla cdot F , dV = 0

Resposta

Sim, a integral tripla do divergente de F sobre W é igual a zero.

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