Suponha que um campo vetorial seja tangente à superfície de uma região . É verdade que

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está acontecendo aqui! A questão fala sobre um campo vetorial que é tangente à superfície de uma região . A pergunta é: será que a integral tripla do divergente de sobre é igual a zero?
Aqui, estamos lidando com Cálculo Vetorial, mais especificamente com o Teorema da Divergência. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo vetorial ser tangente a uma superfície e como isso se relaciona com o divergente do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Isso significa que a integral tripla do divergente de sobre a região é igual à integral de superfície do produto escalar entre e o vetor normal na superfície que delimita .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa que o campo vetorial é tangente à superfície . Se é tangente a , isso quer dizer que, em cada ponto de , o vetor está paralelo à superfície, ou seja, não tem componente na direção do vetor normal .
Matematicamente, isso se expressa como:
í

Passo 4

Voltando ao Teorema da Divergência, já que em toda a superfície , a integral de superfície fica:
Portanto, pelo Teorema da Divergência:

Resposta

Sim, a integral tripla do divergente de sobre é igual a zero.

Exercícios relacionados

Determine as derivadas, com a regra da cadeia:
Suponha que um campo vetorial de classe (ou seja, ). É verdade que para toda superfície fechada ,
Calcule as derivadas:
Seja
o campo elétrico criado por uma carga localizada na origem.
Verifique que em .