Suponha que um campo vetorial
seja tangente à superfície
de uma região
. É verdade que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está acontecendo aqui! A questão fala sobre um campo vetorial
que é tangente à superfície
de uma região
. A pergunta é: será que a integral tripla do divergente de
sobre
é igual a zero?
Aqui, estamos lidando com Cálculo Vetorial, mais especificamente com o Teorema da Divergência. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo vetorial ser tangente a uma superfície e como isso se relaciona com o divergente do campo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Isso significa que a integral tripla do divergente de
sobre a região
é igual à integral de superfície do produto escalar entre
e o vetor normal
na superfície
que delimita
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa que o campo vetorial
é tangente à superfície
. Se
é tangente a
, isso quer dizer que, em cada ponto de
, o vetor
está paralelo à superfície, ou seja, não tem componente na direção do vetor normal
.
Matematicamente, isso se expressa como:
Passo 4
Voltando ao Teorema da Divergência, já que
em toda a superfície
, a integral de superfície fica:
Portanto, pelo Teorema da Divergência:
Resposta
Sim, a integral tripla do divergente de
sobre
é igual a zero.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas, com a regra da cadeia:
Suponha que um campo vetorial
de classe
(ou seja,
). É verdade que para toda superfície fechada
,
Calcule as derivadas:
Seja
o campo elétrico criado por uma carga
localizada na origem.
Verifique que em
.
Verifique que