Seja f(x, y, z)=y^2 e^x z. Determine: partial f /partial z|(1,1,1).

Passo 1

Temos a função . O exercício pede para encontrarmos a derivada parcial de em relação a no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Em funções de várias variáveis, a derivada parcial em relação a uma variável (neste caso, ) mostra como a função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y, z) = y^2 e^x z em relação a partial fpartial z = y^2 cdot ddz(e^x z) = y^2 cdot e^x z cdot x = x y^2 e^x z . A função é:
Como é tratado como uma constante na derivada parcial em relação a , aplicamos a regra da derivada da exponencial:

Passo 4

Agora, substituímos os valores dados partial fpartial zg|(1,1,1) = 1 cdot (1)^2 e^1 cdot 1 = e , , e na expressão da derivada parcial:

Resposta

A derivada parcial de em relação a no ponto é igual a .

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