Seja f(x, y, z) = x * y^2 + y sen x z. Calcule f_x(P) - f_y(P) + f_z(P), P = (1, 2, pi / 4).

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular uma combinação de derivadas parciais da função no ponto . Vamos precisar usar o conteúdo de cálculo de derivadas parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Isso significa que tratamos e como constantes e derivamos em relação a .
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes e derivamos em relação a .
Derivando em relação a :

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Aqui, e são tratados como constantes.
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos avaliar cada uma delas no ponto .
Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 6

Finalmente, vamos juntar tudo que calculamos para encontrar :
Simplificando:

Resposta

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