5.3 & Seja J=400 sen theta /(r^2+4) ar A / m^2. Calcule o valor médio de J sobre a área definida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de densidade de corrente elétrica, onde a densidade é dada por . O objetivo é calcular o valor médio de sobre uma área definida. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e integrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa o valor médio de uma grandeza vetorial sobre uma área. Basicamente, é como tirar a “média” de todas as direções e magnitudes dessa grandeza na área considerada.
A fórmula para o valor médio de Jmédia = 1A integral duplaA J , dA sobre uma área é:
é
Aqui, é a integral dupla da densidade de corrente sobre a área , e é a área total.

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar coordenadas polares, já que a densidade dA = r , dr , dtheta está expressa em termos de Jmédia = 1A integral0^2pi integral0^R 400 sen thetar^2 + 4 ar cdot r , dr , dtheta e . Nas coordenadas polares, o elemento de área é dado por:
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a integral rr^2 + 4 , dr :
12 integral 1u , du = 12 ln |u| + C = 12 ln (r^2 + 4) + C
Fazendo a substituição integral0^R rr^2 + 4 , dr = 12 [ ln (R^2 + 4) - ln 4 ] = 12 ln ( R^2 + 44 ) , então ou . A integral fica:
Então, de 0 a , temos:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral de de 0 a integral0^2pi sen theta , dtheta = [ -cos theta ]0^2pi = -cos (2pi) + cos 0 = -1 + 1 = 0 :

Passo 8

Como a integral de é zero, isso significa que:
Jmédia = 200A ln ( R^2 + 44 ) cdot 0 cdot ar = 0 é

Resposta

O valor médio de sobre a área definida é zero.

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