5.3 & Seja
. Calcule o valor médio de J sobre a área definida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de densidade de corrente elétrica, onde a densidade é dada por . O objetivo é calcular o valor médio de
sobre uma área definida. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e integrais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa o valor médio de uma grandeza vetorial sobre uma área. Basicamente, é como tirar a “média” de todas as direções e magnitudes dessa grandeza na área considerada.
A fórmula para o valor médio de
sobre uma área
é:
Aqui,
é a integral dupla da densidade de corrente sobre a área
, e
é a área total.
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar coordenadas polares, já que a densidade
está expressa em termos de
e
. Nas coordenadas polares, o elemento de área
é dado por:
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
, então
ou
. A integral fica:
Então, de 0 a
, temos:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral de de 0 a
:
Passo 8
Como a integral de é zero, isso significa que:
Resposta
O valor médio de
sobre a área definida é zero.