Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear possui mais de uma solução então possui pelo menos uma solução.
(b) Se é uma solução de e é uma solução de então é solução de .
© Se é matriz , então possui infinitas soluções.
(d) Se é simétrica então para toda matriz

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para verificar se cada uma das afirmações (a), (b), © e (d) é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas lineares e propriedades de matrizes. Vamos precisar conhecer como resolver sistemas de equações e algumas propriedades básicas de matrizes.

Passo 2

Afirmação (a): Se o sistema linear possui mais de uma solução então possui pelo menos uma solução.
Aqui, sendo um sistema homogêneo com mais de uma solução significa que o sistema tem soluções não triviais, ou seja, tem um núcleo não trivial. Entretanto, isso não garante que tenha solução. Por exemplo, se for a matriz zero e não for zero, o sistema não tem solução.

Passo 3

Afirmação (b): Se é uma solução de e é uma solução de então �� solução de .
Vamos aplicar em :
Para que seja solução de , precisaríamos que , o que só acontece se . Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira.

Passo 4

Afirmação ©: Se é uma matriz , então possui infinitas soluções.
Uma matriz tem mais variáveis do que equações, o que geralmente leva a um sistema com infinitas soluções, pois há pelo menos graus de liberdade no espaço das soluções. Isso significa que o sistema é subdeterminado e certamente possui infinitas soluções.

Passo 5

Afirmação (d): Se é simétrica então para toda matriz .
Nem toda matriz simétrica comuta com todas as outras matrizes. Por exemplo, considere:
Aqui, é simétrica, mas:
Parece que comutam, mas se escolhermos:
Então:
Como , a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Falsa.
© Verdadeira.
(d) Falsa.

Exercícios relacionados

Verifique para quais valores de a matriz abaixo é inversível.
Seja e , matrizes , onde e são, respectivamente, as colunas da matriz e as colunas da matriz . Suponha que é invertível e que
onde é um número real.
(a) Determine um valor para tal que seja invertível. Determine um valor para tal que não seja invertível.
(b) Escolha um valor para . Para esse valor de escolhido, o sistema tem solução? Se sim, exibir uma solução.
Suponha que . Além disso,
(a) Mostre que .
(b) Se , determine duas soluções distintas do sistema .
© O que é possível dizer sobre as relações de dependência linear entre os elementos do conjunto
Sejam tais que
(a) O conjunto é LI ou LD?
(b) Você pode dizer que o conjunto é LD ou LI?
© Se e são colunas de uma matriz , dê uma solução para cada um dos sistemas
(d) Determine outra solução de (i.e., uma solução diferente da encontrada no item anterior).