Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear A X=0 possui mais de uma solução então A X=B possui pelo menos uma solução.
(b) Se X1 é uma solução de A X=0 e Y1 é uma solução de A X=B então 2 X1+3 Y1 é solução de A X=B.
© Se A é matriz 4 times 7, então A X=0 possui infinitas soluções.
(d) Se An times n é simétrica então A B=B A para toda matriz Bn times n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para verificar se cada uma das afirmações (a), (b), © e (d) é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas lineares e propriedades de matrizes. Vamos precisar conhecer como resolver sistemas de equações e algumas propriedades básicas de matrizes.

Passo 2

Afirmação (a): Se o sistema linear possui mais de uma solução então possui pelo menos uma solução.
Aqui, sendo um sistema homogêneo com mais de uma solução significa que o sistema tem soluções não triviais, ou seja, tem um núcleo não trivial. Entretanto, isso não garante que tenha solução. Por exemplo, se for a matriz zero e não for zero, o sistema não tem solução.

Passo 3

Afirmação (b): Se A(2 X1 + 3 Y1) = 2AX1 + 3AY1 = 20 + 3B = 3B é uma solução de e é uma solução de então �� solução de .
Vamos aplicar em :
Para que seja solução de , precisaríamos que , o que só acontece se . Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira.

Passo 4

Afirmação ©: Se é uma matriz , então possui infinitas soluções.
Uma matriz tem mais variáveis do que equações, o que geralmente leva a um sistema com infinitas soluções, pois há pelo menos graus de liberdade no espaço das soluções. Isso significa que o sistema é subdeterminado e certamente possui infinitas soluções.

Passo 5

Afirmação (d): Se A = 1 & 0 0 & 1 , B = 0 & 1 1 & 0 é simétrica então AB = 0 & 1 1 & 0 = BA para toda matriz A = 1 & 1 1 & 1 , B = 0 & 1 0 & 0 .
Nem toda matriz simétrica comuta com todas as outras matrizes. Por exemplo, considere:
AB = 1 & 1 1 & 1 0 & 1 0 & 0 = 0 & 1 0 & 1
Aqui, BA = 0 & 1 0 & 0 1 & 1 1 & 1 = 1 & 1 0 & 0 é simétrica, mas:
Parece que comutam, mas se escolhermos:
Então:
Como , a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Falsa.
© Verdadeira.
(d) Falsa.

Exercícios relacionados