Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear
possui mais de uma solução então
possui pelo menos uma solução.
(b) Se
é uma solução de
e
é uma solução de
então
é solução de
.
© Se
é matriz
, então
possui infinitas soluções.
(d) Se
é simétrica então
para toda matriz
(a) Se o sistema linear
(b) Se
© Se
(d) Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para verificar se cada uma das afirmações (a), (b), © e (d) é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas lineares e propriedades de matrizes. Vamos precisar conhecer como resolver sistemas de equações e algumas propriedades básicas de matrizes.
Passo 2
Afirmação (a): Se o sistema linear
possui mais de uma solução então
possui pelo menos uma solução.
Aqui,
sendo um sistema homogêneo com mais de uma solução significa que o sistema tem soluções não triviais, ou seja,
tem um núcleo não trivial. Entretanto, isso não garante que
tenha solução. Por exemplo, se
for a matriz zero e
não for zero, o sistema
não tem solução.
Passo 3
Afirmação (b): Se
é uma solução de
e
é uma solução de
então
�� solução de
.
Vamos aplicar
em
:
Para que seja solução de
, precisaríamos que
, o que só acontece se
. Portanto, a afirmação não é sempre verdadeira.
Passo 4
Afirmação ©: Se
é uma matriz
, então
possui infinitas soluções.
Uma matriz
tem mais variáveis do que equações, o que geralmente leva a um sistema com infinitas soluções, pois há pelo menos
graus de liberdade no espaço das soluções. Isso significa que o sistema é subdeterminado e certamente possui infinitas soluções.
Passo 5
Afirmação (d): Se
é simétrica então
para toda matriz
.
Nem toda matriz simétrica comuta com todas as outras matrizes. Por exemplo, considere:
Aqui,
é simétrica, mas:
Parece que comutam, mas se escolhermos:
Então:
Como
, a afirmação é falsa.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Falsa.
© Verdadeira.
(d) Falsa.
(b) Falsa.
© Verdadeira.
(d) Falsa.