Verifique para quais valores de a matriz abaixo é inversível.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde a gente precisa descobrir para quais valores de a matriz dada é inversível. Matriz inversível significa que ela tem um inverso, e isso só acontece se o determinante da matriz for diferente de zero. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e inversibilidade de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante dessa matriz e ver para quais valores de ele não é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz quadrada é um número que, entre outras coisas, nos diz se a matriz é inversível. Se o determinante for diferente de zero (), a matriz é inversível. Caso contrário, ela não é.
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz dada:
Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, podemos usar a regra de Laplace, que envolve expansão por cofatores. Porém, para simplificar, vamos tentar transformar a matriz para uma forma triangular, onde os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. O determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 4
Vamos realizar operações de linha para simplificar a matriz sem alterar o determinante. Primeiramente, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
A matriz agora fica:
Passo 5
Agora, somamos a primeira linha à quarta linha para zerar o primeiro elemento da quarta linha:
A matriz fica:
Passo 6
Agora, vamos focar na submatriz 3x3 que está abaixo da primeira linha. Para facilitar, vamos calcular o determinante dessa submatriz:
Vamos expandir esse determinante:
Calculando cada parte:
Então, o determinante da submatriz é .
Passo 7
Voltando à matriz original, o determinante total é o produto do elemento da diagonal principal (1) pelo determinante da submatriz, já que transformamos a matriz para uma forma triangular simplificada. Portanto:
Resposta
A matriz é inversível para todos os valores de reais, já que nunca é zero. Ou seja, para todo , a matriz é inversível.