Verifique para quais valores de a in R a matriz abaixo é inversível.
(cccc 1 & 1 & 0 & 1 0 & a & -1 & 0 1 & -1 & a & 0 -1 & 1 & 0 & 2 )

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde a gente precisa descobrir para quais valores de a matriz dada é inversível. Matriz inversível significa que ela tem um inverso, e isso só acontece se o determinante da matriz for diferente de zero. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e inversibilidade de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante dessa matriz e ver para quais valores de ele não é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz quadrada é um número que, entre outras coisas, nos diz se a matriz é inversível. Se o determinante for diferente de zero ( ), a matriz é inversível. Caso contrário, ela não é.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz dada:
A = 1 & 1 & 0 & 1 0 & a & -1 & 0 1 & -1 & a & 0 -1 & 1 & 0 & 2
Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, podemos usar a regra de Laplace, que envolve expansão por cofatores. Porém, para simplificar, vamos tentar transformar a matriz para uma forma triangular, onde os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. O determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 4

Vamos realizar operações de linha para simplificar a matriz sem alterar o determinante. Primeiramente, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
L3 = L3 - L1 Rightarrow 1 & -1 & a & 0 - 1 & 1 & 0 & 1 = 0 & -2 & a & -1
A matriz agora fica:
1 & 1 & 0 & 1 0 & a & -1 & 0 0 & -2 & a & -1 -1 & 1 & 0 & 2

Passo 5

Agora, somamos a primeira linha à quarta linha para zerar o primeiro elemento da quarta linha:
L4 = L4 + L1 Rightarrow -1 & 1 & 0 & 2 + 1 & 1 & 0 & 1 = 0 & 2 & 0 & 3
A matriz fica:
1 & 1 & 0 & 1 0 & a & -1 & 0 0 & -2 & a & -1 0 & 2 & 0 & 3

Passo 6

Agora, vamos focar na submatriz 3x3 que está abaixo da primeira linha. Para facilitar, vamos calcular o determinante dessa submatriz:
a & -1 & 0 -2 & a & -1 2 & 0 & 3
Vamos expandir esse determinante:
a cdot a & -1 0 & 3 - (-1) cdot -2 & -1 2 & 3 + 0 cdot -2 & a 2 & 0
Calculando cada parte:
a cdot (a cdot 3 - (-1) cdot 0) = 3a^2
- (-1) cdot (-2 cdot 3 - (-1) cdot 2) = -1 cdot (-6 + 2) = -1 cdot (-4) = 4
0 cdot qualquer coisa = 0
Então, o determinante da submatriz é .

Passo 7

Voltando à matriz original, o determinante total é o produto do elemento da diagonal principal (1) pelo determinante da submatriz, já que transformamos a matriz para uma forma triangular simplificada. Portanto:
det(A) = 1 cdot (3a^2 + 4) = 3a^2 + 4

Resposta

A matriz é inversível para todos os valores de reais, já que nunca é zero. Ou seja, para todo , a matriz é inversível.

Exercícios relacionados