Verifique para quais valores de a matriz abaixo é inversível.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde a gente precisa descobrir para quais valores de a matriz dada é inversível. Matriz inversível significa que ela tem um inverso, e isso só acontece se o determinante da matriz for diferente de zero. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e inversibilidade de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante dessa matriz e ver para quais valores de ele não é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz quadrada é um número que, entre outras coisas, nos diz se a matriz é inversível. Se o determinante for diferente de zero ( ), a matriz é inversível. Caso contrário, ela não é.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz dada:
Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, podemos usar a regra de Laplace, que envolve expansão por cofatores. Porém, para simplificar, vamos tentar transformar a matriz para uma forma triangular, onde os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. O determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 4

Vamos realizar operações de linha para simplificar a matriz sem alterar o determinante. Primeiramente, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
A matriz agora fica:

Passo 5

Agora, somamos a primeira linha à quarta linha para zerar o primeiro elemento da quarta linha:
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos focar na submatriz 3x3 que está abaixo da primeira linha. Para facilitar, vamos calcular o determinante dessa submatriz:
Vamos expandir esse determinante:
Calculando cada parte:
Então, o determinante da submatriz é .

Passo 7

Voltando à matriz original, o determinante total é o produto do elemento da diagonal principal (1) pelo determinante da submatriz, já que transformamos a matriz para uma forma triangular simplificada. Portanto:

Resposta

A matriz é inversível para todos os valores de reais, já que nunca é zero. Ou seja, para todo , a matriz é inversível.

Exercícios relacionados

Seja e , matrizes , onde e são, respectivamente, as colunas da matriz e as colunas da matriz . Suponha que é invertível e que
onde é um número real.
(a) Determine um valor para tal que seja invertível. Determine um valor para tal que não seja invertível.
(b) Escolha um valor para . Para esse valor de escolhido, o sistema tem solução? Se sim, exibir uma solução.
Sejam e vetores em .
(a) Se , mostre que
(b) Se , gera o ?
Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Se o sistema linear possui mais de uma solução então possui pelo menos uma solução.
(b) Se é uma solução de e é uma solução de então é solução de .
© Se é matriz , então possui infinitas soluções.
(d) Se é simétrica então para toda matriz
Suponha que . Além disso,
(a) Mostre que .
(b) Se , determine duas soluções distintas do sistema .
© O que é possível dizer sobre as relações de dependência linear entre os elementos do conjunto