Sejam K um corpo e para cada a in K, considere a função fa: K longrightarrow K tal que fa(x)=a x a^-1.
Mostre que fa é um isomorfismo de anéis.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos um corpo K e, para cada elemento a em K, definimos uma função fa: K longrightarrow K dada por fa(x) = a x a^-1. Nosso objetivo é mostrar que essa função fa é um isomorfismo de anéis.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com conceitos de teoria de anéis, especificamente isomorfismos de anéis, e utilizar propriedades de corpos (corpos).
O que vamos precisar para resolver:
  1. Verificar que fa é um homomorfismo de anéis, ou seja, que preserva as operações de adição e multiplicação.
  2. Mostrar que fa é bijetora (isto é, é injetora e sobrejetora).

Passo 2

Verificando que fa está bem definida:
Primeiro, precisamos garantir que a função fa está bem definida para todo x in K. Como K é um corpo, todo elemento não nulo a in K possui um inverso multiplicativo a^-1. Portanto, para qualquer x in K, o elemento a x a^-1 também pertence a K, garantindo que fa(x) está bem definido.

Passo 3

Mostrando que fa é um homomorfismo de anéis:
Para que fa seja um homomorfismo de anéis, ele precisa preservar as operações de adição e multiplicação.
  1. Preservação da Adição:
    Queremos mostrar que fa(x + y) = fa(x) + fa(y) para quaisquer x, y in K.
    fa(x + y) &= a (x + y) a^-1 &= a x a^-1 + a y a^-1 (propriedade distributiva) &= fa(x) + fa(y)
  2. Preservação da Multiplicação:
    Queremos mostrar que fa(x y) = fa(x) fa(y) para quaisquer x, y in K.
    fa(x y) &= a (x y) a^-1 &= (a x a^-1) (a y a^-1) (associatividade da muçã
Portanto, fa preserva tanto a adição quanto a multiplicação, sendo assim um homomorfismo de anéis.

Passo 4

Mostrando que fa é bijetora:
Para que fa seja um isomorfismo de anéis, além de ser um homomorfismo, ele precisa ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora.
  1. Injetividade:
    Vamos assumir que fa(x) = fa(y) e mostrar que isso implica x = y.
    fa(x) &= fa(y) a x a^-1 &= a y a^-1
    Multiplicando ambos os lados à esquerda por a^-1 e à direita por a:
    a^-1 (a x a^-1) a = a^-1 (a y a^-1) a
    Simplificando:
    x = y
    Portanto, fa é injetora.
  2. Sobrejetividade:
    Precisamos mostrar que para todo y in K, existe um x in K tal que fa(x) = y.
    Suponha que desejamos achar x tal que a x a^-1 = y. Multiplicando ambos os lados à esquerda por a^-1 e à direita por a, obtemos:
    x = a^-1 y a
    Portanto, para cada y in K, existe um x = a^-1 y a in K que satisfaz fa(x) = y. Assim, fa é sobrejetora.
Como fa é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora.

Resposta

Portanto, a função fa é um isomorfismo de anéis.

Exercícios relacionados