Sejam
um corpo e para cada
, considere a função
tal que
.
Mostre que
é um isomorfismo de anéis.
Mostre que
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos um corpo
e, para cada elemento
em
, definimos uma função
dada por
. Nosso objetivo é mostrar que essa função
é um isomorfismo de anéis.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com conceitos de teoria de anéis, especificamente isomorfismos de anéis, e utilizar propriedades de corpos (corpos).
O que vamos precisar para resolver:
- Verificar que
é um homomorfismo de anéis, ou seja, que preserva as operações de adição e multiplicação. - Mostrar que
é bijetora (isto é, é injetora e sobrejetora).
Passo 2
Verificando que
está bem definida:
Primeiro, precisamos garantir que a função
está bem definida para todo
. Como
é um corpo, todo elemento não nulo
possui um inverso multiplicativo
. Portanto, para qualquer
, o elemento
também pertence a
, garantindo que
está bem definido.
Passo 3
Mostrando que
é um homomorfismo de anéis:
Para que
seja um homomorfismo de anéis, ele precisa preservar as operações de adição e multiplicação.
-
Preservação da Adição:Queremos mostrar que
para quaisquer . -
Preservação da Multiplicação:Queremos mostrar que
para quaisquer .
Portanto,
preserva tanto a adição quanto a multiplicação, sendo assim um homomorfismo de anéis.
Passo 4
Mostrando que
é bijetora:
Para que
seja um isomorfismo de anéis, além de ser um homomorfismo, ele precisa ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora.
-
Injetividade:Vamos assumir que
e mostrar que isso implica . Multiplicando ambos os lados à esquerda pore à direita por : Simplificando:Portanto,é injetora. -
Sobrejetividade:Precisamos mostrar que para todo
, existe um tal que . Suponha que desejamos achartal que . Multiplicando ambos os lados à esquerda por e à direita por , obtemos: Portanto, para cada, existe um que satisfaz . Assim, é sobrejetora.
Como
é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora.
Resposta
Portanto, a função
é um isomorfismo de anéis.