Verifique se I é ideal do anel comutativo A quando:
I=x in Z ; x divide 12 e A=Z

Passo 1

Vamos verificar se o conjunto divide 12 é um ideal do anel comutativo . Para isso, vamos usar conceitos de teoria dos anéis, especificamente a definição de ideal em um anel comutativo. Precisaremos verificar se satisfaz as propriedades de um ideal, ou seja, se é um subgrupo aditivo de e se, para qualquer e , o produto também pertence a .

Passo 2

Primeiro, vamos listar os elementos de I = -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Os divisores de 12 são:

Passo 3

Agora, vamos verificar se é um subgrupo aditivo de . Um subgrupo deve satisfazer três propriedades:
  1. Contém o elemento zero.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob inversos aditivos.
Vamos verificar cada uma:
  1. Elemento zero: O zero não divide 12, pois não existe um número inteiro tal que . Portanto, .
Como o conjunto não contém o elemento zero, já podemos concluir que não é um subgrupo aditivo de .

Passo 4

Como não é um subgrupo aditivo, ele não pode ser um ideal de . Além disso, para que fosse um ideal, seria necessário que para algum inteiro . No caso, consiste apenas nos divisores de 12, e não em todos os múltiplos de um número fixo.

Resposta

O conjunto divide 12 não é um ideal do anel comutativo .

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