Seja ABCD um paralelogramo e seja G o ponto de interseção das diagonais. Sabendo que A=(2,-1,-5), B=(-1,3,2) e G=(4,-1,7). Determine os vértices C e D.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo um paralelogramo no espaço tridimensional. Temos um paralelogramo com os vértices , e o ponto de interseção das diagonais . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos vértices e .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que, em um paralelogramo, as diagonais se cortam exatamente no ponto médio uma da outra. Isso significa que é o ponto médio tanto da diagonal quanto da diagonal .

Passo 3

Vamos usar a fórmula do ponto médio para encontrar as coordenadas de G = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) e . A fórmula do ponto médio entre dois pontos e é:

Passo 4

Começaremos encontrando o ponto G = A + C2 implies C = 2G - A . Sabemos que é o ponto médio de . Então, podemos reescrever a fórmula do ponto médio para encontrar :

Passo 5

Vamos calcular as coordenadas de C = 2G - A = 2 times (4, -1, 7) - (2, -1, -5) = (8, -2, 14) - (2, -1, -5) = (8 - 2, -2 - (-1), 14 - (-5)) = (6, -1, 19) :

Passo 6

Agora, vamos encontrar o ponto G = B + D2 implies D = 2G - B . Sabemos que também é o ponto médio de . Usando a mesma lógica:

Passo 7

Vamos calcular as coordenadas de D = 2G - B = 2 times (4, -1, 7) - (-1, 3, 2) = (8, -2, 14) - (-1, 3, 2) = (8 - (-1), -2 - 3, 14 - 2) = (9, -5, 12) :

Resposta

As coordenadas dos vértices são:

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