Seja uma matriz tal que .
Se , onde denota a matriz transposta de e denota a matriz inversa de , calcule det . Explicite os passos de sua resolução.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma matriz de ordem com determinante igual a . A matriz é definida por , onde é a transposta de e é a inversa de . Nosso objetivo é calcular o determinante de , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar várias propriedades dos determinantes de matrizes.

Passo 2

Vamos lembrar que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes individuais. Ou seja, para matrizes e , temos:
Isso nos ajudará a decompor o cálculo de em partes menores.

Passo 3

Também precisamos usar a propriedade que relaciona o determinante de uma matriz transposta com o determinante da matriz original:
Isso significa que o determinante de é o mesmo que o de .

Passo 4

Outra propriedade importante é o determinante da matriz inversa:
Essa propriedade será útil para simplificar o termo .

Passo 5

Além disso, quando multiplicamos uma matriz por um escalar, o determinante da nova matriz é o escalar elevado à ordem da matriz vezes o determinante da matriz original:
onde é a ordem da matriz. Como é , .

Passo 6

Agora, vamos aplicar essas propriedades para calcular :
O determinante de será:
Usando a propriedade dos produtos de determinantes:
onde é a matriz identidade.

Passo 7

Calculamos cada determinante individualmente:

Passo 8

Agora, multiplicamos todos esses resultados:
Simplificando:

Resposta

O determinante de é .

Exercícios relacionados

Seja uma matriz tal que .
Sendo a matriz , calcule det . Justifique os passos de sua resolução.
Para quais valores de , o sistema tem
a) uma única solução;
Seja e considere ainda uma matriz invertível tal que
Determine a matriz tal que .
Sejam e , determinar: