Seja uma matriz tal que .
Se , onde denota a matriz transposta de e denota a matriz inversa de , calcule det . Explicite os passos de sua resolução.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma matriz de ordem com determinante igual a . A matriz é definida por , onde é a transposta de e é a inversa de . Nosso objetivo é calcular o determinante de , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar várias propriedades dos determinantes de matrizes.
Passo 2
Vamos lembrar que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes individuais. Ou seja, para matrizes e , temos:
Isso nos ajudará a decompor o cálculo de em partes menores.
Passo 3
Também precisamos usar a propriedade que relaciona o determinante de uma matriz transposta com o determinante da matriz original:
Isso significa que o determinante de é o mesmo que o de .
Passo 4
Outra propriedade importante é o determinante da matriz inversa:
Essa propriedade será útil para simplificar o termo .
Passo 5
Além disso, quando multiplicamos uma matriz por um escalar, o determinante da nova matriz é o escalar elevado à ordem da matriz vezes o determinante da matriz original:
onde é a ordem da matriz. Como é , .
Passo 6
Agora, vamos aplicar essas propriedades para calcular :
O determinante de será:
Usando a propriedade dos produtos de determinantes: