Seja A=(ai j)3 times 3 uma matriz 3 times 3 tal que det A=-3.
Se B=-2 A^2 A^t A^-1, onde A^t denota a matriz transposta de A e A^-1 denota a matriz inversa de A, calcule det B. Explicite os passos de sua resolução.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma matriz de ordem com determinante igual a . A matriz é definida por , onde é a transposta de e é a inversa de . Nosso objetivo é calcular o determinante de , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar várias propriedades dos determinantes de matrizes.

Passo 2

Vamos lembrar que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes individuais. Ou seja, para matrizes det(MN) = det(M) cdot det(N) e , temos:
Isso nos ajudará a decompor o cálculo de em partes menores.

Passo 3

Também precisamos usar a propriedade que relaciona o determinante de uma matriz transposta com o determinante da matriz original:
det(A^t) = det(A)
Isso significa que o determinante de é o mesmo que o de .

Passo 4

Outra propriedade importante é o determinante da matriz inversa:
det(A^-1) = 1det(A)
Essa propriedade será útil para simplificar o termo .

Passo 5

Além disso, quando multiplicamos uma matriz por um escalar, o determinante da nova matriz é o escalar elevado à ordem da matriz vezes o determinante da matriz original:
det(kA) = k^n cdot det(A)
onde é a ordem da matriz. Como é , .

Passo 6

Agora, vamos aplicar essas propriedades para calcular B = -2 A^2 A^t A^-1 :
det(B) = det(-2 A^2 A^t A^-1)
O determinante de det(B) = det(-2 I) cdot det(A^2) cdot det(A^t) cdot det(A^-1) será:
Usando a propriedade dos produtos de determinantes:
onde é a matriz identidade.

Passo 7

Calculamos cada determinante individualmente:
det(-2 I) = (-2)^3 = -8
det(A^2) = (det(A))^2 = (-3)^2 = 9
det(A^t) = det(A) = -3
det(A^-1) = 1det(A) = 1-3 = -13

Passo 8

Agora, multiplicamos todos esses resultados:
det(B) = (-8) cdot 9 cdot (-3) cdot (-13)
Simplificando:
det(B) = (-8) cdot 9 cdot (-3) cdot (-13) = (-8) cdot 9 cdot 1 = -72

Resposta

O determinante de é .

Exercícios relacionados