Seja
uma matriz
tal que
.
Se
, onde
denota a matriz transposta de
e
denota a matriz inversa de
, calcule det
. Explicite os passos de sua resolução.
Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma matriz
de ordem
com determinante igual a
. A matriz
é definida por
, onde
é a transposta de
e
é a inversa de
. Nosso objetivo é calcular o determinante de
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar usar várias propriedades dos determinantes de matrizes.
Passo 2
Vamos lembrar que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes individuais. Ou seja, para matrizes
e
, temos:
Isso nos ajudará a decompor o cálculo de
em partes menores.
Passo 3
Também precisamos usar a propriedade que relaciona o determinante de uma matriz transposta com o determinante da matriz original:
Isso significa que o determinante de
é o mesmo que o de
.
Passo 4
Outra propriedade importante é o determinante da matriz inversa:
Essa propriedade será útil para simplificar o termo
.
Passo 5
Além disso, quando multiplicamos uma matriz por um escalar, o determinante da nova matriz é o escalar elevado à ordem da matriz vezes o determinante da matriz original:
onde
é a ordem da matriz. Como
é
,
.
Passo 6
Agora, vamos aplicar essas propriedades para calcular
:
O determinante de
será:
Usando a propriedade dos produtos de determinantes:
onde
é a matriz identidade.
Passo 7
Calculamos cada determinante individualmente:
Passo 8
Agora, multiplicamos todos esses resultados:
Simplificando:
Resposta
O determinante de
é
.