Seja uma matriz tal que .
Sendo a matriz , calcule det . Justifique os passos de sua resolução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz de ordem com determinante . A gente precisa calcular o determinante de outra matriz que é construída a partir de . Para resolver isso, vamos usar propriedades dos determinantes que envolvem operações com linhas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a matriz é formada a partir de . A matriz é dada por:
Observe que cada linha de é uma combinação específica das linhas de .

Passo 3

Vamos representar como o produto de uma matriz de operações com a matriz , ou seja, . A matriz que realiza essa transformação é:
Isso porque:
  • A primeira linha de multiplica a terceira linha de por para formar a primeira linha de .
  • A segunda linha de soma a primeira e a segunda linha de para formar a segunda linha de .
  • A terceira linha de multiplica a primeira linha de por para formar a terceira linha de .

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante da matriz . Para uma matriz , o determinante é calculado assim:
Aplicando os valores de :

Passo 5

Sabemos que . Já temos e . Então:

Resposta

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Para quais valores de , o sistema tem
a) uma única solução;
Seja uma matriz invertível tal que sua inversa é dada por:
A soma de todos os elementos da matriz vale:
a). -2
b). 1
c). 0
d). 3
e). 4
Seja uma matriz tal que .
Se , onde denota a matriz transposta de e denota a matriz inversa de , calcule det . Explicite os passos de sua resolução.
Seja e considere ainda uma matriz invertível tal que
Determine a matriz tal que .