Seja uma matriz tal que .
Sendo a matriz , calcule det M. Justifique os passos de sua resolução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz de ordem com determinante . A gente precisa calcular o determinante de outra matriz que é construída a partir de . Para resolver isso, vamos usar propriedades dos determinantes que envolvem operações com linhas de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a matriz M = -a31 & -a32 & -a33 a11 + a21 & a12 + a22 & a13 + a23 5a11 & 5a12 & 5a13 é formada a partir de . A matriz é dada por:
Observe que cada linha de é uma combinação específica das linhas de .
Passo 3
Vamos representar O = 0 & 0 & -1 1 & 1 & 0 5 & 0 & 0 como o produto de uma matriz de operações com a matriz , ou seja, . A matriz que realiza essa transformação é:
Isso porque:
A primeira linha de multiplica a terceira linha de por para formar a primeira linha de .
A segunda linha de soma a primeira e a segunda linha de para formar a segunda linha de .
A terceira linha de multiplica a primeira linha de por para formar a terceira linha de .
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante da matriz det O = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . Para uma matriz det O = 0 cdot (1 cdot 0 - 0 cdot 0) - 0 cdot (1 cdot 0 - 5 cdot 0) + (-1) cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 5) = 0 - 0 + (-1) cdot (-5) = 5 , o determinante é calculado assim:
Aplicando os valores de :
Passo 5
Sabemos que det M = 5 cdot (-3) = -15 . Já temos e . Então: