Para quais valores de alpha, o sistema lalpha x+y=0 x+(2 alpha+1) y=0 tem
a) uma única solução;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com duas equações e duas incógnitas, x e y. A pergunta é: para quais valores de alpha esse sistema tem uma única solução. Para resolver isso, vamos usar o que sabemos sobre determinantes de matrizes de sistemas lineares. Precisamos calcular o determinante e ver quando ele é diferente de zero, porque isso garante que o sistema tem uma única solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz de coeficientes:
alpha & 1 1 & 2alpha + 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 2 times 2 como essa é dado por:
determinante = (alpha)(2alpha + 1) - (1)(1) = 2alpha^2 + alpha - 1

Passo 4

Queremos que o sistema tenha uma única solução, o que acontece quando o determinante é diferente de zero. Então, precisamos resolver a inequação:
2alpha^2 + alpha - 1 neq 0

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática associada para encontrar os valores de alpha que fazem o determinante zero:
2alpha^2 + alpha - 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
alpha = -b pm raizb^2 - 4ac2a = -1 pm raiz1 + 84 = -1 pm 34
Então, as soluções são:
alpha1 = 24 = 12, alpha2 = -44 = -1

Passo 6

Isso significa que o determinante é zero quando alpha = 12 ou alpha = -1. Para que o sistema tenha uma única solução, alpha precisa ser diferente desses valores.

Resposta

O sistema tem uma única solução para todo valor de alpha diferente de 12 e de -1. Ou seja, para todos os alpha in R, alpha neq 12 e alpha neq -1.

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