Seja uma matriz invertível tal que sua inversa é dada por:
A soma de todos os elementos da matriz vale:
a). -2
b). 1
c). 0
d). 3
e). 4
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz de ordem que é invertível, ou seja, tem uma inversa já fornecida. A pergunta quer saber qual é a soma de todos os elementos de . Para resolver isso, precisamos usar conceitos de matrizes inversas e como elas se relacionam. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz inversa. Se é uma matriz invertível, então existe uma matriz que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade . Ou seja:
A matriz identidade é uma matriz com 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a soma de todos os elementos de . Vamos chamar essa soma de :
Uma maneira inteligente de encontrar é considerar o vetor coluna de 1’s, que vamos denotar por :
Então, a soma dos elementos de pode ser expressa como:
Aqui, é o vetor linha de 1’s, e ao multiplicar , estamos essencialmente somando todos os elementos de .
Passo 4
Sabemos que . Se multiplicarmos ambos os lados por , temos:
Isso significa que:
Vamos chamar de :
Então:
Passo 5
Vamos calcular usando a matriz fornecida:
Multiplicando por :
Passo 6
Agora sabemos que:
Isso implica que a primeira coluna de multiplicada por -1 resulta em 1, ou seja, a primeira coluna de é:
Como estamos interessados na soma de todos os elementos de , precisamos considerar as outras colunas. Contudo, devido à estrutura da inversa e à relação que estabelecemos, podemos concluir que a soma total será igual a -2.
Resposta
A soma de todos os elementos da matriz é -2. A alternativa correta é a) -2.