Verifique se são LD ou LI os vetores: u=(1,-1,2)B, v=(0,1,3)B, w=(4,-3,11)B

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se os vetores u = (1, -1, 2), v = (0, 1, 3) e w = (4, -3, 11) são Linearmente Dependentes (LD) ou Linearmente Independentes (LI). Vamos trabalhar com álgebra linear, mais especificamente com a ideia de dependência linear entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente dependentes ou independentes. Vetores são Linearmente Independentes (LI) se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, não existe uma relação do tipo au + bv + cw = 0, onde a, b, e c não são todos zero. Se tal relação existir, os vetores são Linearmente Dependentes (LD).

Passo 3

Para verificar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI. Se for zero, eles são LD.
Vamos montar a matriz:
A = 1 & 0 & 4 -1 & 1 & -3 2 & 3 & 11

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante da matriz A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 1 cdot (1 cdot 11 - (-3) cdot 3) - 0 cdot ((-1) cdot 11 - (-3) cdot 2) + 4 cdot ((-1) cdot 3 - 1 cdot 2)

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. Primeiro termo:
1 cdot (1 cdot 11 - (-3) cdot 3) = 1 cdot (11 + 9) = 1 cdot 20 = 20
  1. Segundo termo:
0 cdot ((-1) cdot 11 - (-3) cdot 2) = 0 cdot (-11 + 6) = 0 cdot (-5) = 0
  1. Terceiro termo:
4 cdot ((-1) cdot 3 - 1 cdot 2) = 4 cdot (-3 - 2) = 4 cdot (-5) = -20

Passo 6

Agora, somamos todos os termos:
det(A) = 20 + 0 - 20 = 0

Resposta

Como o determinante da matriz A é zero, isso significa que os vetores u, v e w são Linearmente Dependentes (LD).

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